Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 59 / Задание 1028
| Глава: | Глава 10 |
|---|---|
| Параграф: | § 59 - Применение производной и интеграла к решению практических задач |
| Учебник: | Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы - |
| Автор: | Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна |
| Год: | 2025 |
| Издание: |
Шаг 1. Нахождение общего решения.
\nОбщее решение уравнения \( y' = \sin x \) находится интегрированием:
\n\( y = \int \sin x \,dx = -\cos x + C \)
\nШаг 2. Использование начального условия.
\nИспользуем условие \( y(0) = 0 \) для нахождения константы \( C \). Подставим \( x = 0 \) и \( y = 0 \) в общее решение:
\n\( 0 = -\cos(0) + C \)
\n\( 0 = -1 + C \)
\n\( C = 1 \)
\nШаг 3. Запись частного решения.
\nПодставим найденное значение \( C = 1 \) в общее решение:
\n\( y = -\cos x + 1 \) или \( y = 1 - \cos x \)
\nОтвет: \( y = 1 - \cos x \).
Шаг 1. Нахождение общего решения.
\nОбщее решение уравнения \( y' = 2 \cos x \) находится интегрированием:
\n\( y = \int 2 \cos x \,dx = 2 \sin x + C \)
\nШаг 2. Использование начального условия.
\nИспользуем условие \( y(\pi) = 1 \) для нахождения константы \( C \). Подставим \( x = \pi \) и \( y = 1 \) в общее решение:
\n\( 1 = 2 \sin(\pi) + C \)
\nТак как \( \sin(\pi) = 0 \):
\n\( 1 = 2 \cdot 0 + C \)
\n\( C = 1 \)
\nШаг 3. Запись частного решения.
\nПодставим найденное значение \( C = 1 \) в общее решение:
\n\( y = 2 \sin x + 1 \)
\nОтвет: \( y = 2 \sin x + 1 \).
Шаг 1. Нахождение общего решения.
\nОбщее решение уравнения \( y' = 3x^2 + 4x - 1 \) находится интегрированием:
\n\( y = \int (3x^2 + 4x - 1) \,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C \)
\n\( y = x^3 + 2x^2 - x + C \)
\nШаг 2. Использование начального условия.
\nИспользуем условие \( y(1) = -2 \). Подставим \( x = 1 \) и \( y = -2 \) в общее решение:
\n\( -2 = 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 1 + C \)
\n\( -2 = 1 + 2 - 1 + C \)
\n\( -2 = 2 + C \)
\n\( C = -4 \)
\nШаг 3. Запись частного решения.
\nПодставим найденное значение \( C = -4 \) в общее решение:
\n\( y = x^3 + 2x^2 - x - 4 \)
\nОтвет: \( y = x^3 + 2x^2 - x - 4 \).
Шаг 1. Нахождение общего решения.
\nОбщее решение уравнения \( y' = 2 + 2x - 3x^2 \) находится интегрированием:
\n\( y = \int (2 + 2x - 3x^2) \,dx = 2x + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C \)
\n\( y = 2x + x^2 - x^3 + C \)
\nШаг 2. Использование начального условия.
\nИспользуем условие \( y(-1) = -2 \). Подставим \( x = -1 \) и \( y = -2 \) в общее решение:
\n\( -2 = 2(-1) + (-1)^2 - (-1)^3 + C \)
\n\( -2 = -2 + 1 - (-1) + C \)
\n\( -2 = -2 + 1 + 1 + C \)
\n\( -2 = 0 + C \)
\n\( C = -2 \)
\nШаг 3. Запись частного решения.
\nПодставим найденное значение \( C = -2 \) в общее решение:
\n\( y = 2x + x^2 - x^3 - 2 \)
\nОтвет: \( y = 2x + x^2 - x^3 - 2 \).
Шаг 1. Нахождение общего решения.
\nОбщее решение уравнения \( y' = e^x \) находится интегрированием:
\n\( y = \int e^x \,dx = e^x + C \)
\nШаг 2. Использование начального условия.
\nИспользуем условие \( y(1) = 1 \). Подставим \( x = 1 \) и \( y = 1 \) в общее решение:
\n\( 1 = e^1 + C \)
\n\( C = 1 - e \)
\nШаг 3. Запись частного решения.
\nПодставим найденное значение \( C = 1 - e \) в общее решение:
\n\( y = e^x + 1 - e \)
\nОтвет: \( y = e^x + 1 - e \).
Шаг 1. Нахождение общего решения.
\nОбщее решение уравнения \( y' = e^{-x} \) находится интегрированием:
\n\( y = \int e^{-x} \,dx = -e^{-x} + C \)
\nШаг 2. Использование начального условия.
\nИспользуем условие \( y(0) = 2 \). Подставим \( x = 0 \) и \( y = 2 \) в общее решение:
\n\( 2 = -e^{-0} + C \)
\n\( 2 = -e^0 + C \)
\n\( 2 = -1 + C \)
\n\( C = 3 \)
\nШаг 3. Запись частного решения.
\nПодставим найденное значение \( C = 3 \) в общее решение:
\n\( y = -e^{-x} + 3 \) или \( y = 3 - e^{-x} \)
\nОтвет: \( y = 3 - e^{-x} \).
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
