ГДЗ: Упражнение 1030 - § 59 (Применение производной и интеграла к решению практических задач) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Модель радиоактивного распада.

Радиоактивный распад описывается дифференциальным уравнением \( \frac{dm}{dt} = -\lambda m \), где \( m(t) \) — масса вещества в момент времени \( t \), а \( \lambda \) — константа распада. Решение этого уравнения имеет вид:

\( m(t) = m_0 e^{-\lambda t} \), где \( m_0 \) — начальная масса.

В нашем случае \( m_0 = 1 \) г, поэтому \( m(t) = e^{-\lambda t} \).

Шаг 2. Определение константы распада \( \lambda \).

Известно, что через \( t = 10 \) лет масса стала \( m(10) = 0.999 \) г. Подставим эти значения:

\( 0.999 = e^{-\lambda \cdot 10} \)

Прологарифмируем обе части (натуральный логарифм \( \ln \) ):

\( \ln(0.999) = -10 \lambda \)

\( \lambda = -\frac{\ln(0.999)}{10} \)

Так как \( \ln(0.999) \approx -0.0010005 \), то \( \lambda \approx -\frac{-0.0010005}{10} = 0.00010005 \) (лет\( ^{-1} \)).

Шаг 3. Нахождение времени, когда масса уменьшится до 0,5 г.

Необходимо найти \( t \), при котором \( m(t) = 0.5 \) г:

\( 0.5 = e^{-\lambda t} \)

Прологарифмируем обе части:

\( \ln(0.5) = -\lambda t \)

\( t = -\frac{\ln(0.5)}{\lambda} \)

Подставим выражение для \( \lambda \) из Шага 2:

\( t = -\frac{\ln(0.5)}{-\frac{\ln(0.999)}{10}} = 10 \frac{\ln(0.5)}{\ln(0.999)} \)

Поскольку \( 0.5 = 2^{-1} \) и \( \ln(0.5) = -\ln(2) \):

\( t = 10 \frac{-\ln(2)}{\ln(0.999)} \)

Используем приближённые значения: \( \ln(2) \approx 0.6931 \) и \( \ln(0.999) \approx -0.0010005 \) (или \( \lambda \approx 0.00010005 \) из Шага 2):

\( t \approx -\frac{-0.6931}{0.00010005} \approx 6927 \) лет.

Примечание: Время \( T \) за которое масса уменьшается вдвое называется периодом полураспада. Оно определяется формулой \( T = \frac{\ln 2}{\lambda} \). В данном случае это и есть искомое время \( t \).

Ответ: \( t = 10 \frac{\ln(2)}{-\ln(0.999)} \) лет. Приближённо 6927 лет.