Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 61 / Задание 1063

ГДЗ: Упражнение 1063 - § 61 (Перестановки) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 320, 321, 322
Глава: Глава 11
Параграф: § 61 - Перестановки
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1063 упражнение:

Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, так, чтобы:

1) последней была цифра 3;

Мы составляем пятизначное число из 5 различных цифр. Если последняя цифра фиксирована (цифра 3), то остается 4 цифры (\( 1, 2, 4, 5 \)) для заполнения 4 оставшихся позиций. Порядок этих 4 цифр важен.

  • Фиксация: Последняя позиция занята цифрой 3 (1 способ).
  • Расчёт: Оставшиеся 4 цифры могут быть переставлены \( P_4 \) способами.
    \( P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \)

Ответ: 24 числа

2) первой была цифра 4;

Если первая цифра фиксирована (цифра 4), то остается 4 цифры (\( 1, 2, 3, 5 \)) для заполнения 4 оставшихся позиций. Порядок этих 4 цифр важен.

  • Фиксация: Первая позиция занята цифрой 4 (1 способ).
  • Расчёт: Оставшиеся 4 цифры могут быть переставлены \( P_4 \) способами.
    \( P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \)

Ответ: 24 числа

3) первой была цифра 5, а второй — цифра 1;

Если первые две цифры фиксированы (5 и 1), то остается 3 цифры (\( 2, 3, 4 \)) для заполнения 3 оставшихся позиций. Порядок этих 3 цифр важен.

  • Фиксация: Первые две позиции заняты (1 способ для 5 и 1 способ для 1).
  • Расчёт: Оставшиеся 3 цифры могут быть переставлены \( P_3 \) способами.
    \( P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \)

Ответ: 6 чисел

4) первой была цифра 2, а последней — цифра 4;

Если первая и последняя цифры фиксированы (2 и 4), то остается 3 цифры (\( 1, 3, 5 \)) для заполнения 3 средних позиций. Порядок этих 3 цифр важен.

  • Фиксация: Первая и последняя позиции заняты (1 способ для 2 и 1 способ для 4).
  • Расчёт: Оставшиеся 3 цифры могут быть переставлены \( P_3 \) способами.
    \( P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \)

Ответ: 6 чисел

5) первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке;

Задача состоит из двух независимых частей: 1) расположение цифр 3 и 4 на первых двух позициях и 2) расположение оставшихся 3 цифр на оставшихся 3 позициях. Используется правило произведения.

  • Шаг 1: Число способов расстановки 3 и 4 на первых двух местах: \( P_2 = 2! = 2 \cdot 1 = 2 \).
  • Шаг 2: Оставшиеся 3 цифры (\( 1, 2, 5 \)) могут быть переставлены на последних трех местах \( P_3 \) способами.
    \( P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \).
  • Расчёт: Общее число способов: \( P_2 \cdot P_3 = 2 \cdot 6 = 12 \)

Ответ: 12 чисел

6) последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?

Задача состоит из двух независимых частей: 1) расположение оставшихся 3 цифр на первых трех позициях и 2) расположение цифр 1 и 2 на последних двух позициях. Используется правило произведения.

  • Шаг 1: Оставшиеся 3 цифры (\( 3, 4, 5 \)) могут быть переставлены на первых трех местах \( P_3 \) способами.
    \( P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \).
  • Шаг 2: Число способов расстановки 1 и 2 на последних двух местах: \( P_2 = 2! = 2 \cdot 1 = 2 \).
  • Расчёт: Общее число способов: \( P_3 \cdot P_2 = 6 \cdot 2 = 12 \)

Ответ: 12 чисел

Что применять при решении

Число перестановок из n элементов
Число перестановок \( P_n \) из \( n \) различных элементов – это количество способов, которыми эти элементы могут быть расположены в определённом порядке. Каждая такая перестановка отличается от другой только порядком расположения элементов.
\( P_n = n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \)
Факториал
Произведение первых \( n \) натуральных чисел обозначают \( n! \) (читается «эн факториал»). Число перестановок \( P_n \) равно \( n! \). По определению, \( 1! = 1 \).
\( P_n = n! \)
Упрощение выражений с факториалами
Основное свойство факториала, используемое для упрощения и решения уравнений: факториал числа можно представить как произведение самого числа на факториал предыдущего числа.
\( n! = n \cdot (n-1)! \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 61

1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.