ГДЗ: Упражнение 1065 - § 61 (Перестановки) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Разложим числитель так, чтобы можно было сократить знаменатель.

• Преобразование: \( \frac{26!}{25!} = \frac{26 \cdot 25!}{25!} \)
• Сокращение: \( 26 \)

Ответ: 26

Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Разложим числитель так, чтобы можно было сократить знаменатель.

• Преобразование: \( \frac{32!}{31!} = \frac{32 \cdot 31!}{31!} \)
• Сокращение: \( 32 \)

Ответ: 32

Разложим числитель, пока не получим \( 10! \), а затем сократим.

• Преобразование: \( \frac{12!}{10!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{10!} \)
• Сокращение: \( 12 \cdot 11 = 132 \)

Ответ: 132

Разложим числитель, пока не получим \( 12! \), а затем сократим.

• Преобразование: \( \frac{14!}{12!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12!}{12!} \)
• Сокращение: \( 14 \cdot 13 = 182 \)

Ответ: 182

Разложим знаменатель \( 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5! \) и сократим \( 5! \). Затем вычислим оставшееся выражение.

• Преобразование: \( \frac{5! \cdot 3!}{7!} = \frac{5! \cdot 3!}{7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{3!}{42} \)
• Вычисление: \( \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{42} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7} \)

Ответ: \( \frac{1}{7} \)

Разложим знаменатель \( 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6! \) и сократим \( 6! \). Затем вычислим оставшееся выражение.

• Преобразование: \( \frac{6! \cdot 4!}{8!} = \frac{6! \cdot 4!}{8 \cdot 7 \cdot 6!} = \frac{4!}{56} \)
• Вычисление: \( \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{56} = \frac{24}{56} \)
• Сокращение: Сократим дробь на 8: \( \frac{24 \div 8}{56 \div 8} = \frac{3}{7} \)

Ответ: \( \frac{3}{7} \)

Разложим числитель \( 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8! \) и сократим \( 8! \).

• Преобразование: \( \frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \cdot 9}{2!} \)
• Вычисление: \( \frac{90}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45 \)

Ответ: 45

Разложим числитель \( 11! = 11 \cdot 10 \cdot 9! \) и сократим \( 9! \).

• Преобразование: \( \frac{11!}{9! \cdot 2!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 2!} = \frac{11 \cdot 10}{2!} \)
• Вычисление: \( \frac{110}{2 \cdot 1} = \frac{110}{2} = 55 \)

Ответ: 55