ГДЗ: Упражнение 1066 - § 61 (Перестановки) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Заменим перестановки факториалами: \( P_n = n! \). Разложим числитель \( (n+1)! = (n+1) \cdot n! \).

• Преобразование: \( \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{n!} \)
• Сокращение: \( n+1 \)

Ответ: \( n+1 \)

Заменим перестановки факториалами: \( P_n = n! \). Разложим числитель \( (n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)! \).

• Преобразование: \( \frac{P_{n+2}}{P_{n+1}} = \frac{(n+2)!}{(n+1)!} = \frac{(n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!} \)
• Сокращение: \( n+2 \)

Ответ: \( n+2 \)

Разложим знаменатель \( (m+2)! = (m+2) \cdot (m+1)! \) и сократим \( (m+1)! \).

• Преобразование: \( \frac{m! (m+1)!}{(m+2)!} = \frac{m! \cdot (m+1)!}{(m+2) \cdot (m+1)!} \)
• Сокращение: \( \frac{m!}{m+2} \)

Ответ: \( \frac{m!}{m+2} \)

Разложим числитель \( (m+3)! = (m+3) \cdot (m+2) \cdot (m+1)! \) и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе.

• Преобразование: \( \frac{(m+3)!}{(m+1)! (m+2)} = \frac{(m+3) \cdot (m+2) \cdot (m+1)!}{(m+1)! \cdot (m+2)} \)
• Сокращение: \( m+3 \)

Ответ: \( m+3 \)