Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 62 / Задание 1072

ГДЗ: Упражнение 1072 - § 62 (Размещения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 323, 325, 326
Глава: Глава 11
Параграф: § 62 - Размещения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1072 упражнение:

Вычислить:

1) \( A_4^1 \)

Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

  • Число размещений \( A_m^n \) вычисляется по формуле: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).
  • В нашем случае \( m = 4 \) и \( n = 1 \).

    • Подставляем значения в формулу: \( A_4^1 = \frac{4!}{(4 - 1)!} = \frac{4!}{3!} \).

    Шаг 2: Вычисляем факториалы и сокращаем.

  • Напоминаем, что \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \). Следовательно, \( 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \) и \( 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \).
  • Запишем \( 4! \) как \( 4 \cdot 3! \).

    • \( A_4^1 = \frac{4 \cdot 3!}{3!} \)

  • Сокращаем \( 3! \) в числителе и знаменателе.

    • \( A_4^1 = 4 \)

    Ответ:

    \( A_4^1 = 4 \)

    2) \( A_5^1 \)

    Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

  • Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).
  • Здесь \( m = 5 \) и \( n = 1 \).

    • Подставляем: \( A_5^1 = \frac{5!}{(5 - 1)!} = \frac{5!}{4!} \).

    Шаг 2: Вычисляем факториалы и сокращаем.

  • Записываем \( 5! \) как \( 5 \cdot 4! \).

    • \( A_5^1 = \frac{5 \cdot 4!}{4!} \)

  • Сокращаем \( 4! \).

    • \( A_5^1 = 5 \)

  • Общее правило: \( A_m^1 = \frac{m!}{(m - 1)!} = \frac{m \cdot (m - 1)!}{(m - 1)!} = m \).

    • Ответ:

    \( A_5^1 = 5 \)

    3) \( A_5^3 \)

    Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

  • Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).
  • Здесь \( m = 5 \) и \( n = 3 \).

    • Подставляем: \( A_5^3 = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5!}{2!} \).

    Шаг 2: Вычисляем факториалы.

  • \( 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \).
  • \( 2! = 1 \cdot 2 = 2 \).

    • Шаг 3: Вычисляем отношение.

    \( A_5^3 = \frac{120}{2} = 60 \)

  • Альтернативный способ (через произведение): \( A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \). Это произведение \( n=3 \) последовательно убывающих целых чисел, начиная с \( m=5 \).

    • Ответ:

    \( A_5^3 = 60 \)

    4) \( A_5^2 \)

    Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

  • Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).
  • Здесь \( m = 5 \) и \( n = 2 \).

    • Подставляем: \( A_5^2 = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} \).

    Шаг 2: Вычисляем факториалы и сокращаем.

  • Записываем \( 5! \) как \( 5 \cdot 4 \cdot 3! \).

    • \( A_5^2 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} \)

  • Сокращаем \( 3! \).

    • \( A_5^2 = 5 \cdot 4 = 20 \)

    Ответ:

    \( A_5^2 = 20 \)

    5) \( A_7^5 \)

    Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

  • Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).
  • Здесь \( m = 7 \) и \( n = 5 \).

    • Подставляем: \( A_7^5 = \frac{7!}{(7 - 5)!} = \frac{7!}{2!} \).

    Шаг 2: Вычисляем факториалы.

  • \( 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040 \).
  • \( 2! = 2 \).

    • Шаг 3: Вычисляем отношение.

    \( A_7^5 = \frac{5040}{2} = 2520 \)

  • Альтернативный способ (через произведение): \( A_7^5 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520 \). (Произведение \( n=5 \) последовательно убывающих целых чисел, начиная с \( m=7 \)).

    • Ответ:

    \( A_7^5 = 2520 \)

    6) \( A_{10}^3 \)

    Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

  • Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).
  • Здесь \( m = 10 \) и \( n = 3 \).

    • Подставляем: \( A_{10}^3 = \frac{10!}{(10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} \).

    Шаг 2: Вычисляем факториалы и сокращаем.

  • Записываем \( 10! \) как \( 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! \).

    • \( A_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} \)

  • Сокращаем \( 7! \).

    • \( A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \)

    Ответ:

    \( A_{10}^3 = 720 \)

    7) \( A_{10}^2 \)

    Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

  • Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).
  • Здесь \( m = 10 \) и \( n = 2 \).

    • Подставляем: \( A_{10}^2 = \frac{10!}{(10 - 2)!} = \frac{10!}{8!} \).

    Шаг 2: Вычисляем факториалы и сокращаем.

  • Записываем \( 10! \) как \( 10 \cdot 9 \cdot 8! \).

    • \( A_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8!} \)

  • Сокращаем \( 8! \).

    • \( A_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90 \)

    Ответ:

    \( A_{10}^2 = 90 \)

    8) \( A_{10}^0 \)

    Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

  • Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).
  • Здесь \( m = 10 \) и \( n = 0 \).

    • Подставляем: \( A_{10}^0 = \frac{10!}{(10 - 0)!} = \frac{10!}{10!} \).

    Шаг 2: Вычисляем отношение.

    \( A_{10}^0 = 1 \)

  • Общее правило: \( A_m^0 = 1 \). Это означает, что из \( m \) элементов можно составить только одно "соединение" из 0 элементов (пустое множество).

    • Ответ:

    \( A_{10}^0 = 1 \)

    Что применять при решении

    Определение размещений
    Размещениями из \( m \) элементов по \( n \) элементов (\( n \le m \)) называются такие соединения, каждое из которых содержит \( n \) элементов, взятых из данных \( m \) разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.
    Число всевозможных размещений
    Число всевозможных размещений из \( m \) элементов по \( n \) элементов обозначают \( A_m^n \) и читают «А из эм по эн».
    Формула для вычисления числа размещений
    Число размещений \( A_m^n \) вычисляется по формуле:
    \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \)
    Связь между \( A_m^n \) и факториалом
    Альтернативный вид формулы для вычисления числа размещений:
    \( A_m^n = m(m - 1)(m - 2) \cdots (m - n + 1) \)
    Определение факториала нуля
    По определению полагают, что:
    \( 0! = 1 \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 62

    1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.