Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 21 / Задание 415

ГДЗ: Упражнение 415 - § 21 (Радианная мера угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 117, 120
Глава: Глава 5
Параграф: § 21 - Радианная мера угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

415 упражнение:

Заполнить таблицу (414-415).

1) Таблица 415

Пояснение: Используем формулы: Длина дуги \( l = R \cdot \alpha \), Площадь сектора \( S = \frac{1}{2} R^2 \alpha \).

  • Столбец 1: Дано: \( x^{\circ} = 30^{\circ} \) и \( R=2 \text{ см} \).
    • Угол в радианах: \( \alpha = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \) рад.
    • Длина дуги: \( l = R \cdot \alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \text{ см} \).
    • Площадь сектора: \( S = \frac{1}{2} R^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \text{ см}^2 \).
  • Столбец 2: Дано: \( \alpha = \frac{\pi}{5} \) рад и \( R=10 \text{ см} \).
    • Угол в градусах: \( x^{\circ} = \frac{180}{\pi} \cdot \frac{\pi}{5} = 36^{\circ} \).
    • Длина дуги: \( l = R \cdot \alpha = 10 \cdot \frac{\pi}{5} = 2\pi \text{ см} \).
    • Площадь сектора: \( S = \frac{1}{2} R^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \frac{\pi}{5} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\pi}{5} = 50 \cdot \frac{\pi}{5} = 10\pi \text{ см}^2 \).
  • Столбец 3: Дано: \( l=2 \text{ см} \) и \( R=10 \text{ см} \).
    • Угол в радианах: \( \alpha = \frac{l}{R} = \frac{2}{10} = 0,2 \) рад.
    • Угол в градусах: \( x^{\circ} = \frac{180}{\pi} \cdot 0,2 = \frac{36}{\pi} \).
    • Площадь сектора: \( S = \frac{1}{2} R^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot 0,2 = 50 \cdot 0,2 = 10 \text{ см}^2 \).
  • Столбец 4: Дано: \( l=5 \text{ см} \) и \( S=50 \text{ см}^2 \).
    • Площадь сектора также выражается формулой \( S = \frac{1}{2} l R \). Выразим \( R \): \( R = \frac{2S}{l} = \frac{2 \cdot 50}{5} = 20 \text{ см} \).
    • Угол в радианах: \( \alpha = \frac{l}{R} = \frac{5}{20} = 0,25 \) рад.
    • Угол в градусах: \( x^{\circ} = \frac{180}{\pi} \cdot 0,25 = \frac{45}{\pi} \).
  • Столбец 5: Дано: \( R=5 \text{ см} \) и \( S=25 \text{ см}^2 \).
    • Угол в радианах: \( \alpha = \frac{2S}{R^2} = \frac{2 \cdot 25}{5^2} = \frac{50}{25} = 2 \) рад.
    • Угол в градусах: \( x^{\circ} = \frac{180}{\pi} \cdot 2 = \frac{360}{\pi} \).
    • Длина дуги: \( l = R \cdot \alpha = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см} \).
  • Столбец 6: Дано: \( \alpha = 2 \) рад и \( S=50 \text{ см}^2 \).
    • Найдем радиус: \( R^2 = \frac{2S}{\alpha} = \frac{2 \cdot 50}{2} = 50 \). \( R = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ см} \).
    • Угол в градусах: \( x^{\circ} = \frac{180}{\pi} \cdot 2 = \frac{360}{\pi} \).
    • Длина дуги: \( l = R \cdot \alpha = 5\sqrt{2} \cdot 2 = 10\sqrt{2} \text{ см} \).
  • Столбец 7: Дано: \( l=10 \text{ см} \) и \( S=50 \text{ см}^2 \).
    • Радиус: \( R = \frac{2S}{l} = \frac{2 \cdot 50}{10} = 10 \text{ см} \).
    • Угол в радианах: \( \alpha = \frac{l}{R} = \frac{10}{10} = 1 \) рад.
    • Угол в градусах: \( x^{\circ} = \frac{180}{\pi} \cdot 1 = \frac{180}{\pi} \).

    Заполненная таблица:

    • Угол, \( \text{ }^{\circ} \): \( 30 \), \( 36 \), \( \frac{36}{\pi} \), \( \frac{45}{\pi} \), \( \frac{360}{\pi} \), \( \frac{360}{\pi} \), \( \frac{180}{\pi} \).
    • Угол, \( \text{ рад} \): \( \frac{\pi}{6} \), \( \frac{\pi}{5} \), \( 0,2 \), \( 0,25 \), \( 2 \), \( 2 \), \( 1 \).
    • Радиус, \( \text{ см} \): \( 2 \), \( 10 \), \( 10 \), \( 20 \), \( 5 \), \( 5\sqrt{2} \), \( 10 \).
    • Длина дуги, \( \text{ см} \): \( \frac{\pi}{3} \), \( 2\pi \), \( 2 \), \( 5 \), \( 10 \), \( 10\sqrt{2} \), \( 10 \).
    • Площадь сектора, \( \text{ см}^2 \): \( \frac{\pi}{3} \), \( 10\pi \), \( 10 \), \( 50 \), \( 25 \), \( 50 \), \( 50 \).

    Что применять при решении

    Соотношение между градусной и радианной мерой угла
    Формула для перевода радианной меры угла ( \( \alpha \) ) в градусную ( \( x^{\circ} \) ) и наоборот. Угол в \( 180^{\circ} \) соответствует \( \pi \) радиан.
    \( \frac{\alpha}{\pi} = \frac{x^{\circ}}{180^{\circ}} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi \cdot x^{\circ}}{180^{\circ}} \text{ и } x^{\circ} = \frac{180^{\circ} \cdot \alpha}{\pi} \)
    Длина дуги окружности
    Длина дуги ( \( l \) ) окружности радиуса \( R \), соответствующая центральному углу \( \alpha \) в радианах.
    \( l = R \cdot \alpha \)
    Площадь кругового сектора
    Площадь сектора ( \( S \) ) окружности радиуса \( R \), соответствующая центральному углу \( \alpha \) в радианах. Из учебника: площадь сектора в \( \alpha \) рад равна \( \frac{R^2 \alpha}{2} \).
    \( S = \frac{1}{2} R^2 \alpha \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 21

    407 408 409 410 411 412 413 414 415
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.