ГДЗ: Упражнение 465 - § 26 (Тригонометрические тождества) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) к левой части:
  \( (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1^2 - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \).
• Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), откуда следует, что \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
• Шаг 3: Получаем, что ЛЧ равна правой части (ПЧ):
  \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) к левой части:
  \( (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
• Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), откуда следует, что \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \).
• Шаг 3: Получаем, что ЛЧ равна правой части (ПЧ):
  \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \).

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) для упрощения знаменателя:
  \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
• Шаг 2: Подставим результат в ЛЧ:
  \( \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \).
  Учтем, что тождество имеет смысл при \( \sin \alpha \ne 0 \).
• Шаг 3: Сократим дробь:
  \( \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1 \).
• Шаг 4: Однако, правая часть (ПЧ) равна \( \text{tg}^2 \alpha \). В исходном задании, вероятно, допущена опечатка. Если заменить знаменатель на \( \cos^2 \alpha \), то \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = \text{tg}^2 \alpha \).
  
  Считая, что в условии опечатка:
  \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \text{tg}^2 \alpha \). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано (при условии, что в знаменателе должно быть \( \cos^2 \alpha \)).

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) для упрощения знаменателя:
  \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \).
• Шаг 2: Подставим результат в ЛЧ:
  \( \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \).
  Учтем, что тождество имеет смысл при \( \cos \alpha \ne 0 \).
• Шаг 3: Сократим дробь:
  \( \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 \).
• Шаг 4: Однако, правая часть (ПЧ) равна \( \text{ctg}^2 \alpha \). В исходном задании, вероятно, допущена опечатка. Если заменить знаменатель на \( \sin^2 \alpha \), то \( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)^2 = \text{ctg}^2 \alpha \).
  
  Считая, что в условии опечатка:
  \( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha \). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано (при условии, что в знаменателе должно быть \( \sin^2 \alpha \)).

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Используем тождество \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \).
• Шаг 2: Подставим это в первый член ЛЧ:
  \( \frac{1}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \cos^2 \alpha \).
• Шаг 3: Подставим результат обратно в ЛЧ:
  \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \).
• Шаг 4: Применим основное тригонометрическое тождество:
  \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).
  Это равно правой части (ПЧ).

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Используем тождество \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).
• Шаг 2: Подставим это в первый член ЛЧ:
  \( \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \sin^2 \alpha \).
• Шаг 3: Подставим результат обратно в ЛЧ:
  \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \).
• Шаг 4: Применим основное тригонометрическое тождество:
  \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
  Это равно правой части (ПЧ).

Ответ: Тождество доказано.