ГДЗ: Упражнение 469 - § 26 (Тригонометрические тождества) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Упростим выражение:

• Шаг 1: Используем тождество \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \).
• Шаг 2: Подставим это в выражение:
  \( \left( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \right) \cos^2 \alpha - 1 \).
  (Выражение определено при \( \cos \alpha \ne 0 \)).
• Шаг 3: Выполним умножение:
  \( 1 - 1 \).
• Шаг 4: Вычислим разность:
  \( 0 \).

Ответ: \( 0 \)

Упростим выражение:

• Шаг 1: Используем тождество \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).
• Шаг 2: Подставим это в выражение:
  \( 1 - \sin^2 \alpha \left( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \right) \).
  (Выражение определено при \( \sin \alpha \ne 0 \)).
• Шаг 3: Выполним умножение:
  \( 1 - 1 \).
• Шаг 4: Вычислим разность:
  \( 0 \).

Ответ: \( 0 \)

Упростим выражение:

• Шаг 1: Используем тождества:
  \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)
  \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).
• Шаг 2: Подставим их в слагаемые:
  Первый член: \( \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \cos^2 \alpha \).
  Второй член: \( \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \sin^2 \alpha \).
  (Выражение определено при \( \sin \alpha \ne 0 \) и \( \cos \alpha \ne 0 \)).
• Шаг 3: Сложим преобразованные члены:
  \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \).
• Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество:
  \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).

Ответ: \( 1 \)

Упростим выражение:

• Шаг 1: Используем тождества:
  Числитель: \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \).
  Знаменатель: \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).
• Шаг 2: Подставим их в дробь:
  \( \frac{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} \).
  (Выражение определено при \( \sin \alpha \ne 0 \) и \( \cos \alpha \ne 0 \)).
• Шаг 3: Разделим дроби (умножим числитель на обратную величину знаменателя):
  \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \).
• Шаг 4: Заменим отношение квадратов на квадрат тангенса:
  \( \text{tg}^2 \alpha \).

Ответ: \( \text{tg}^2 \alpha \)