ГДЗ: Упражнение 472 - § 26 (Тригонометрические тождества) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Дано: \( \cos \alpha - \sin \alpha = 0,2 \). Требуется найти \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).

• Шаг 1: Используем формулу разности квадратов для искомого выражения:
  \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) \).
• Шаг 2: Подставим данное значение \( \cos \alpha - \sin \alpha = 0,2 \):
  \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 0,2 \cdot (\cos \alpha + \sin \alpha) \).
  Нам нужно найти \( \cos \alpha + \sin \alpha \).
• Шаг 3: Возведем данное равенство в квадрат:
  \( (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = (0,2)^2 \).
  \( \cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha = 0,04 \).
  \( 1 - 2 \cos \alpha \sin \alpha = 0,04 \).
  \( 2 \cos \alpha \sin \alpha = 1 - 0,04 = 0,96 \).
• Шаг 4: Возведем в квадрат выражение \( \cos \alpha + \sin \alpha \):
  \( (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha \).
  \( (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = 1 + 2 \cos \alpha \sin \alpha \).
• Шаг 5: Подставим \( 2 \cos \alpha \sin \alpha = 0,96 \) в полученное равенство:
  \( (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = 1 + 0,96 = 1,96 \).
• Шаг 6: Найдем \( \cos \alpha + \sin \alpha \):
  \( \cos \alpha + \sin \alpha = \pm \sqrt{1,96} = \pm 1,4 \).
• Шаг 7: Подставим найденные значения в выражение из Шага 2:
  Случай 1: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 0,2 \cdot (1,4) = 0,28 \).
  Случай 2: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 0,2 \cdot (-1,4) = -0,28 \).

Ответ: \( 0,28 \) или \( -0,28 \)