ГДЗ: Упражнение 474 - § 26 (Тригонометрические тождества) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решим уравнение:

• Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):
  \( 2 \sin x + (1) = 1 \).
• Шаг 2: Упростим уравнение:
  \( 2 \sin x = 1 - 1 \).
  \( 2 \sin x = 0 \).
• Шаг 3: Разделим на 2:
  \( \sin x = 0 \).
• Шаг 4: Найдем общее решение для синуса, равного нулю:
  \( x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Решим уравнение:

• Шаг 1: Представим \( 3 \cos^2 x \) как \( 2 \cos^2 x + \cos^2 x \):
  \( 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x + \cos^2 x - 2 = 0 \).
• Шаг 2: Вынесем 2 из первых двух слагаемых:
  \( 2 (\sin^2 x + \cos^2 x) + \cos^2 x - 2 = 0 \).
• Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):
  \( 2 \cdot (1) + \cos^2 x - 2 = 0 \).
  \( 2 + \cos^2 x - 2 = 0 \).
• Шаг 4: Упростим уравнение:
  \( \cos^2 x = 0 \).
• Шаг 5: Найдем общее решение для косинуса, равного нулю:
  \( \cos x = 0 \).
  \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Решим уравнение:

• Шаг 1: Перенесем все слагаемые в левую часть и приравняем к нулю:
  \( 3 \cos^2 x - 2 \sin x - 3 - 2 \sin^2 x = 0 \).
• Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество для замены \( \cos^2 x \):
  \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).
  \( 3 (1 - \sin^2 x) - 2 \sin x - 3 - 2 \sin^2 x = 0 \).
• Шаг 3: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
  \( 3 - 3 \sin^2 x - 2 \sin x - 3 - 2 \sin^2 x = 0 \).
  \( (3 - 3) + (-3 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) - 2 \sin x = 0 \).
  \( -5 \sin^2 x - 2 \sin x = 0 \).
• Шаг 4: Умножим на -1 и вынесем общий множитель \( \sin x \):
  \( 5 \sin^2 x + 2 \sin x = 0 \).
  \( \sin x (5 \sin x + 2) = 0 \).
• Шаг 5: Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
  
  1. Первый случай: \( \sin x = 0 \).
     \( x_1 = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).
  2. Второй случай: \( 5 \sin x + 2 = 0 \).
     \( \sin x = - \frac{2}{5} \).
     \( x_2 = \text{arcsin} \left( -\frac{2}{5} \right) + 2\pi n = -\text{arcsin} \left( \frac{2}{5} \right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
     \( x_3 = \pi - \text{arcsin} \left( -\frac{2}{5} \right) + 2\pi m = \pi + \text{arcsin} \left( \frac{2}{5} \right) + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi k; \quad x = -\text{arcsin} \left( \frac{2}{5} \right) + 2\pi n; \quad x = \pi + \text{arcsin} \left( \frac{2}{5} \right) + 2\pi m, \quad k, n, m \in \mathbb{Z} \)

Решим уравнение:

• Шаг 1: Перенесем все слагаемые из правой части в левую:
  \( \cos^2 x - 2 \sin x - (2 \sin^2 x - 1 - 2 \sin x) = 0 \).
  \( \cos^2 x - 2 \sin x - 2 \sin^2 x + 1 + 2 \sin x = 0 \).
• Шаг 2: Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с \( \sin x \) взаимно уничтожаются:
  \( \cos^2 x - 2 \sin^2 x + 1 = 0 \).
• Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество для замены \( \cos^2 x \):
  \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).
  \( (1 - \sin^2 x) - 2 \sin^2 x + 1 = 0 \).
• Шаг 4: Упростим уравнение:
  \( 2 - 3 \sin^2 x = 0 \).
  \( 3 \sin^2 x = 2 \).
  \( \sin^2 x = \frac{2}{3} \).
• Шаг 5: Извлечем корень:
  \( \sin x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \).
• Шаг 6: Найдем общее решение:
  \( x = \pm \text{arcsin} \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).
  (Или можно записать как \( x = (-1)^k \text{arcsin} \left( \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \right) + \pi k \)).

Ответ: \( x = \pm \text{arcsin} \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)