Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 32 / Задание 537

ГДЗ: Упражнение 537 - § 32 (Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 161, 163, 164
Глава: Глава 5
Параграф: § 32 - Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

537 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) + \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) \)

Для упрощения выражения \( \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) + \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) \) используем формулу суммы синусов:

  • Формула: \( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \).

    • Здесь \( A = \alpha + \frac{\pi}{3} \) и \( B = \alpha - \frac{\pi}{3} \).

  • Находим полусумму: \( \frac{A + B}{2} = \frac{\left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) + \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \).
  • Находим полуразность: \( \frac{A - B}{2} = \frac{\left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) - \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).
  • Подставляем в формулу: \( \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) + \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{3} \).
  • Вычисляем значение: Известно, что \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
  • Окончательное упрощение: \( 2 \sin \alpha \cdot \frac{1}{2} = \sin \alpha \).

    • Ответ: \( \sin \alpha \)

    2) \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \)

    Для упрощения выражения \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \) используем формулу разности косинусов:

  • Формула: \( \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} \).

    • Здесь \( A = \frac{\pi}{4} - \alpha \) и \( B = \frac{\pi}{4} + \alpha \).

  • Находим полусумму: \( \frac{A + B}{2} = \frac{\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4} \).
  • Находим полуразность: \( \frac{A - B}{2} = \frac{\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} - \alpha - \frac{\pi}{4} - \alpha}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha \).
  • Подставляем в формулу: \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = -2 \sin \frac{\pi}{4} \sin (-\alpha) \).
  • Используем нечётность синуса: \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \).
  • Продолжаем подстановку: \( -2 \sin \frac{\pi}{4} (-\sin \alpha) = 2 \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha \).
  • Вычисляем значение: Известно, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
  • Окончательное упрощение: \( 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \sqrt{2} \sin \alpha \).

    • Ответ: \( \sqrt{2} \sin \alpha \)

    3) \( \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \)

    Для упрощения выражения \( \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \) используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

  • Разность: \( \sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \). Это разность синусов.
    • Полусумма: \( \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4} \).
    • Полуразность: \( \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \).
    • Разность: \( 2 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} = 2 \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \sin \alpha \).
  • Сумма: \( \sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \). Это сумма синусов.
    • Полусумма: \( \frac{\pi}{4} \). (См. выше)
    • Полуразность: \( \alpha \). (См. выше)
    • Сумма: \( 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha \).
  • Произведение разности и суммы: \( (\sqrt{2} \sin \alpha)(\sqrt{2} \cos \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
  • Используем формулу синуса двойного угла: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).

    • Ответ: \( \sin 2\alpha \)

    4) \( \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \)

    Для упрощения выражения \( \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \) используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

  • Разность: \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \). Это разность косинусов.
    • Известно из варианта 2, что разность равна \( \sqrt{2} \sin \alpha \).
  • Сумма: \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) + \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \). Это сумма косинусов.
    • Формула: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \).
    • Полусумма: \( \frac{\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)}{2} = \frac{\pi}{4} \).
    • Полуразность: \( \frac{\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)}{2} = -\alpha \).
    • Сумма: \( 2 \cos \frac{\pi}{4} \cos (-\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha \) (т.к. \( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \)).
  • Произведение разности и суммы: \( (\sqrt{2} \sin \alpha)(\sqrt{2} \cos \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
  • Используем формулу синуса двойного угла: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).

    • Ответ: \( \sin 2\alpha \)

    Что применять при решении

    Сумма синусов
    Формула преобразования суммы синусов в произведение.
    \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Разность синусов
    Формула преобразования разности синусов в произведение.
    \( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)
    Сумма косинусов
    Формула преобразования суммы косинусов в произведение.
    \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Разность косинусов
    Формула преобразования разности косинусов в произведение.
    \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Преобразование произведения синуса и косинуса
    Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
    \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)
    Тангенс суммы
    Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.
    \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
    Косинус двойного угла (через синус)
    Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.
    \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 32

    537 538 539 540 541 542 543 544 545
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.