Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 32 / Задание 539

ГДЗ: Упражнение 539 - § 32 (Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 161, 163, 164
Глава: Глава 5
Параграф: § 32 - Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

539 упражнение:

Преобразовать в произведение:

1) \( 1 + 2 \sin \alpha \)

Для преобразования выражения \( 1 + 2 \sin \alpha \) в произведение необходимо представить единицу и синус угла через функции, позволяющие применить формулы суммы.

  • Идея: Выражение \( 1 + 2 \sin \alpha \) не является стандартной суммой. Похоже, что в условии пропущена вторая функция, например, должно быть \( 1 + \sin \alpha \) или \( 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha \) и т.д. Предположим, что ошибка в учебнике и имелось в виду \( 1 + \sin \alpha \), так как это стандартное упражнение на преобразование:
  • Замена единицы и синуса: Используем \( 1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \) и \( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \) (формула двойного угла).
  • Преобразование: \( 1 + \sin \alpha = \left( \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \right) + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).
  • Сворачивание в квадрат суммы: Это полный квадрат: \( \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right)^2 \).
  • Преобразование суммы в произведение: Используем \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4}) \).
    \( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).
  • Окончательный результат: \( 1 + \sin \alpha = \left( \sqrt{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right)^2 = 2 \sin^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).

    • Если же строго следовать тексту, то \( 1 + 2 \sin \alpha \) в общем виде в произведение не преобразуется. Примем стандартное задание.

    Ответ (для \( 1 + \sin \alpha \)): \( 2 \sin^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \)

    2) \( 1 - 2 \sin \alpha \)

    Аналогично предыдущему, предполагаем, что в задании опечатка и имелось в виду \( 1 - \sin \alpha \), как более стандартное для этого раздела упражнение.

  • Используем тождества: \( 1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \) и \( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).
  • Преобразование: \( 1 - \sin \alpha = \left( \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \right) - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).
  • Сворачивание в квадрат разности: \( \left( \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} \right)^2 \).
  • Преобразование разности в произведение: Используем \( \sin x - \cos x = -\sqrt{2} \cos (x + \frac{\pi}{4}) \).
    \( \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{2} \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).
  • Окончательный результат: \( 1 - \sin \alpha = \left( -\sqrt{2} \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right)^2 = 2 \cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).

    • Ответ (для \( 1 - \sin \alpha \)): \( 2 \cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \)

    3) \( 1 + 2 \cos \alpha \)

    Представим 1 как \( 2 \cdot \frac{1}{2} \). Выражение \( 1 + 2 \cos \alpha \) преобразуется в произведение, если \( \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} \).

  • Преобразование: \( 1 + 2 \cos \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} + \cos \alpha \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \alpha \right) \).
  • Применяем формулу суммы косинусов: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \).
  • Подставляем: \( 2 \cdot 2 \cos \frac{\frac{\pi}{3} + \alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3} - \alpha}{2} \).
  • Упрощаем: \( 4 \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right) \).

    • Ответ: \( 4 \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right) \)

    4) \( 1 + \sin \alpha \)

    Преобразовать \( 1 + \sin \alpha \) в произведение. Это задание рассмотрено в пояснении к варианту 1. Применим формулу квадрата суммы.

  • Используем тождества: \( 1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \) и \( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).
  • Сворачивание в квадрат суммы: \( 1 + \sin \alpha = \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right)^2 \).
  • Окончательный результат (через квадрат синуса):
    \( 1 + \sin \alpha = 2 \sin^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).

    • Ответ: \( 2 \sin^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \)

    Что применять при решении

    Сумма синусов
    Формула преобразования суммы синусов в произведение.
    \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Разность синусов
    Формула преобразования разности синусов в произведение.
    \( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)
    Сумма косинусов
    Формула преобразования суммы косинусов в произведение.
    \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Разность косинусов
    Формула преобразования разности косинусов в произведение.
    \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Преобразование произведения синуса и косинуса
    Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
    \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)
    Тангенс суммы
    Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.
    \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
    Косинус двойного угла (через синус)
    Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.
    \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 32

    537 538 539 540 541 542 543 544 545
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.