Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 32 / Задание 544

ГДЗ: Упражнение 544 - § 32 (Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 161, 163, 164
Глава: Глава 5
Параграф: § 32 - Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

544 упражнение:

Доказать тождество \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \) и вычислить:

1) \( \operatorname{tg} 267^{\circ} + \operatorname{tg} 93^{\circ} \)

Шаг 1: Доказательство тождества \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).

  • Представим тангенсы через синусы и косинусы: \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \).
  • Приведем к общему знаменателю \( \cos \alpha \cos \beta \): \( \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \).
  • Используем формулу синуса суммы: \( \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha + \beta) \).
  • Получаем: \( \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \). Тождество доказано.

    • Шаг 2: Вычисление \( \operatorname{tg} 267^{\circ} + \operatorname{tg} 93^{\circ} \).

  • Используем доказанное тождество, где \( \alpha = 267^{\circ} \) и \( \beta = 93^{\circ} \).
    \( \operatorname{tg} 267^{\circ} + \operatorname{tg} 93^{\circ} = \frac{\sin (267^{\circ} + 93^{\circ})}{\cos 267^{\circ} \cos 93^{\circ}} = \frac{\sin 360^{\circ}}{\cos 267^{\circ} \cos 93^{\circ}} \).
  • Вычисляем числитель: \( \sin 360^{\circ} = 0 \).
  • Проверяем знаменатель на ноль: \( \cos 267^{\circ} \) и \( \cos 93^{\circ} \) не равны нулю, поэтому деление возможно.
  • Окончательный результат: \( \frac{0}{\cos 267^{\circ} \cos 93^{\circ}} = 0 \).

    • Ответ: 0

    2) \( \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12} + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{12} \)

    Вычислим \( \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12} + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{12} \) с помощью доказанного тождества.

  • Используем тождество, где \( \alpha = \frac{5\pi}{12} \) и \( \beta = \frac{7\pi}{12} \).
    \( \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12} + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{12} = \frac{\sin (\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12})}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}} = \frac{\sin \frac{12\pi}{12}}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}} = \frac{\sin \pi}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}} \).
  • Вычисляем числитель: \( \sin \pi = 0 \).
  • Окончательный результат: \( \frac{0}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}} = 0 \).

    • Ответ: 0

    Что применять при решении

    Сумма синусов
    Формула преобразования суммы синусов в произведение.
    \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Разность синусов
    Формула преобразования разности синусов в произведение.
    \( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)
    Сумма косинусов
    Формула преобразования суммы косинусов в произведение.
    \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Разность косинусов
    Формула преобразования разности косинусов в произведение.
    \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Преобразование произведения синуса и косинуса
    Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
    \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)
    Тангенс суммы
    Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.
    \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
    Косинус двойного угла (через синус)
    Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.
    \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 32

    537 538 539 540 541 542 543 544 545
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.