Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 32 / Задание 545

ГДЗ: Упражнение 545 - § 32 (Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 161, 163, 164
Глава: Глава 5
Параграф: § 32 - Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

545 упражнение:

Разложить на множители:

1) \( 1 - \cos \alpha + \sin \alpha \)

Разложим на множители \( 1 - \cos \alpha + \sin \alpha \).

  • Группируем: \( (1 - \cos \alpha) + \sin \alpha \).
  • Преобразуем \( 1 - \cos \alpha \) (формула понижения степени): \( 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
  • Преобразуем \( \sin \alpha \) (формула двойного угла): \( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).
  • Подставляем: \( 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).
  • Выносим общий множитель: \( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right) \).
  • Преобразуем сумму в скобке (линейная комбинация): \( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).
  • Окончательный результат: \( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 2\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).

    • Ответ: \( 2\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \)

    2) \( 1 - 2 \cos \alpha + \cos 2\alpha \)

    Разложим на множители \( 1 - 2 \cos \alpha + \cos 2\alpha \).

  • Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \).
  • Подставляем: \( 1 - 2 \cos \alpha + (2 \cos^2 \alpha - 1) \).
  • Упрощаем: \( -2 \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha \).
  • Выносим общий множитель: \( 2 \cos \alpha (\cos \alpha - 1) \).
  • Преобразуем \( \cos \alpha - 1 \) (формула понижения степени): \( - (1 - \cos \alpha) = - (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) \).
  • Окончательный результат: \( 2 \cos \alpha \left( -2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right) = -4 \cos \alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).

    • Ответ: \( -4 \cos \alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2} \)

    3) \( 1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha \)

    Разложим на множители \( 1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha \).

  • Заменяем тангенс: \( 1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
  • Группируем и выносим множители: \( (1 - \cos \alpha) + \left( \sin \alpha - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \).
  • Во второй скобке выносим \( \sin \alpha \) и приводим к общему знаменателю:
    \( 1 - \cos \alpha + \sin \alpha \left( 1 - \frac{1}{\cos \alpha} \right) = 1 - \cos \alpha + \sin \alpha \left( \frac{\cos \alpha - 1}{\cos \alpha} \right) \).
  • Выносим общий множитель \( 1 - \cos \alpha \) (или \( - (\cos \alpha - 1) \)):
    \( (1 - \cos \alpha) - \sin \alpha \frac{(1 - \cos \alpha)}{\cos \alpha} = (1 - \cos \alpha) \left( 1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \).
  • Заменяем дробь на тангенс: \( (1 - \cos \alpha) (1 - \operatorname{tg} \alpha) \).
  • Преобразуем \( 1 - \cos \alpha \) (формула понижения степени): \( 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
  • Окончательный результат: \( 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} (1 - \operatorname{tg} \alpha) \).

    • Ответ: \( 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} (1 - \operatorname{tg} \alpha) \)

    4) \( 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \operatorname{tg} \alpha \)

    Разложим на множители \( 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \operatorname{tg} \alpha \).

  • Заменяем тангенс: \( 1 + \cos \alpha + \sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
  • Группируем и выносим множители: \( (1 + \cos \alpha) + \left( \sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \).
  • Во второй скобке выносим \( \sin \alpha \) и приводим к общему знаменателю:
    \( 1 + \cos \alpha + \sin \alpha \left( 1 + \frac{1}{\cos \alpha} \right) = 1 + \cos \alpha + \sin \alpha \left( \frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha} \right) \).
  • Выносим общий множитель \( 1 + \cos \alpha \):
    \( (1 + \cos \alpha) \left( 1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \).
  • Заменяем дробь на тангенс: \( (1 + \cos \alpha) (1 + \operatorname{tg} \alpha) \).
  • Преобразуем \( 1 + \cos \alpha \) (формула понижения степени): \( 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} \).
  • Окончательный результат: \( 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} (1 + \operatorname{tg} \alpha) \).

    • Ответ: \( 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} (1 + \operatorname{tg} \alpha) \)

    Что применять при решении

    Сумма синусов
    Формула преобразования суммы синусов в произведение.
    \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Разность синусов
    Формула преобразования разности синусов в произведение.
    \( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)
    Сумма косинусов
    Формула преобразования суммы косинусов в произведение.
    \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Разность косинусов
    Формула преобразования разности косинусов в произведение.
    \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Преобразование произведения синуса и косинуса
    Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
    \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)
    Тангенс суммы
    Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.
    \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
    Косинус двойного угла (через синус)
    Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.
    \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 32

    537 538 539 540 541 542 543 544 545
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.