Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 32 / Задание 538

ГДЗ: Упражнение 538 - § 32 (Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 161, 163, 164
Глава: Глава 5
Параграф: § 32 - Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

538 упражнение:

Вычислить:

1) \( \cos 105^{\circ} + \cos 75^{\circ} \)

Вычисляем \( \cos 105^{\circ} + \cos 75^{\circ} \) с помощью формулы суммы косинусов:

  • Формула: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \).
  • Находим полусумму углов: \( \frac{105^{\circ} + 75^{\circ}}{2} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ} \).
  • Находим полуразность углов: \( \frac{105^{\circ} - 75^{\circ}}{2} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ} \).
  • Подставляем в формулу: \( \cos 105^{\circ} + \cos 75^{\circ} = 2 \cos 90^{\circ} \cos 15^{\circ} \).
  • Вычисляем: Известно, что \( \cos 90^{\circ} = 0 \).
  • Окончательный результат: \( 2 \cdot 0 \cdot \cos 15^{\circ} = 0 \).

    • Ответ: 0

    2) \( \sin 105^{\circ} - \sin 75^{\circ} \)

    Вычисляем \( \sin 105^{\circ} - \sin 75^{\circ} \) с помощью формулы разности синусов:

  • Формула: \( \sin A - \sin B = 2 \sin \frac{A - B}{2} \cos \frac{A + B}{2} \).
  • Находим полуразность углов: \( \frac{105^{\circ} - 75^{\circ}}{2} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ} \).
  • Находим полусумму углов: \( \frac{105^{\circ} + 75^{\circ}}{2} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ} \).
  • Подставляем в формулу: \( \sin 105^{\circ} - \sin 75^{\circ} = 2 \sin 15^{\circ} \cos 90^{\circ} \).
  • Вычисляем: Известно, что \( \cos 90^{\circ} = 0 \).
  • Окончательный результат: \( 2 \sin 15^{\circ} \cdot 0 = 0 \).

    • Ответ: 0

    3) \( \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} \)

    Вычисляем \( \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} \) с помощью формулы суммы косинусов:

  • Формула: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \).
  • Находим полусумму: \( \frac{1}{2} \left( \frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).
  • Находим полуразность: \( \frac{1}{2} \left( \frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \).
  • Подставляем в формулу: \( \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} = 2 \cos \frac{2\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} \).
  • Вычисляем значения:
    • \( \cos \frac{2\pi}{3} = \cos (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \).
    • \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
  • Окончательный результат: \( 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

    • Ответ: \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

    4) \( \cos \frac{11\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \)

    Вычисляем \( \cos \frac{11\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} \) с помощью формулы разности косинусов:

  • Формула: \( \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} \).
  • Находим полусумму: \( \frac{2\pi}{3} \) (см. вариант 3).
  • Находим полуразность: \( \frac{\pi}{4} \) (см. вариант 3).
  • Подставляем в формулу: \( \cos \frac{11\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} = -2 \sin \frac{2\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} \).
  • Вычисляем значения:
    • \( \sin \frac{2\pi}{3} = \sin (\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
    • \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
  • Окончательный результат: \( -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2} \).

    • Ответ: \( -\frac{\sqrt{6}}{2} \)

    5) \( \sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \)

    Вычисляем \( \sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \) с помощью формулы разности синусов:

  • Формула: \( \sin A - \sin B = 2 \sin \frac{A - B}{2} \cos \frac{A + B}{2} \).
  • Находим полуразность: \( \frac{1}{2} \left( \frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \).
  • Находим полусумму: \( \frac{1}{2} \left( \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \).
  • Подставляем в формулу: \( \sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3} \).
  • Вычисляем значения:
    • \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
    • \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
  • Окончательный результат: \( 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

    • Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

    6) \( \cos 105^{\circ} + \sin 165^{\circ} \)

    Вычисляем \( \cos 105^{\circ} + \sin 165^{\circ} \) с помощью формул приведения для преобразования синуса в косинус.

  • Преобразуем \( \sin 165^{\circ} \): Используем \( \sin \alpha = \cos (90^{\circ} - \alpha) \) или \( \sin \alpha = \sin (180^{\circ} - \alpha) \). Применим \( \sin \alpha = \cos (90^{\circ} - \alpha) \) для создания суммы косинусов:
    \( \sin 165^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 165^{\circ}) = \cos (-75^{\circ}) = \cos 75^{\circ} \).
  • Подставляем в исходное выражение: \( \cos 105^{\circ} + \cos 75^{\circ} \).
  • Применяем формулу суммы косинусов:
    \( \cos 105^{\circ} + \cos 75^{\circ} = 2 \cos \frac{105^{\circ} + 75^{\circ}}{2} \cos \frac{105^{\circ} - 75^{\circ}}{2} \).
  • Вычисляем:
    \( 2 \cos \frac{180^{\circ}}{2} \cos \frac{30^{\circ}}{2} = 2 \cos 90^{\circ} \cos 15^{\circ} \).
  • Окончательный результат: Так как \( \cos 90^{\circ} = 0 \), то \( 2 \cdot 0 \cdot \cos 15^{\circ} = 0 \).

    • Ответ: 0

    Что применять при решении

    Сумма синусов
    Формула преобразования суммы синусов в произведение.
    \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Разность синусов
    Формула преобразования разности синусов в произведение.
    \( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)
    Сумма косинусов
    Формула преобразования суммы косинусов в произведение.
    \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Разность косинусов
    Формула преобразования разности косинусов в произведение.
    \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    Преобразование произведения синуса и косинуса
    Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
    \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)
    Тангенс суммы
    Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.
    \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
    Косинус двойного угла (через синус)
    Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.
    \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 32

    537 538 539 540 541 542 543 544 545
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.