ГДЗ: Упражнение 648 - § 37 (Примеры простейших тригонометрических неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Неравенство \( \cos x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \) означает, что абсцисса точки на единичной окружности не должна превышать \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

• Шаг 1: Находим корни уравнения \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Корни в интервале \( [-\pi, \pi] \) равны \( -\frac{\pi}{4} \) и \( \frac{\pi}{4} \).
• Шаг 2: Определяем дугу на единичной окружности, где абсцисса меньше или равна \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Эта дуга простирается от \( \frac{\pi}{4} \) до \( 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \) (или от \( \frac{\pi}{4} \) до \( -\frac{\pi}{4} \) при обходе против часовой стрелки, но для общего решения удобнее использовать интервал, содержащий \( \pi \) и \( 0 \)).
• Шаг 3: Записываем общее решение с учетом периодичности \( 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Поскольку косинус убывает от \( 0 \) до \( \pi \) и возрастает от \( \pi \) до \( 2\pi \), нас интересуют значения \( x \) от \( \frac{\pi}{4} \) до \( 2\pi - \frac{\pi}{4} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство \( \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} \) означает, что абсцисса точки на единичной окружности должна быть строго меньше \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

• Шаг 1: Находим корни уравнения \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Корни в интервале \( [-\pi, \pi] \) равны \( -\frac{\pi}{6} \) и \( \frac{\pi}{6} \).
• Шаг 2: Определяем дугу на единичной окружности, где абсцисса строго меньше \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Эта дуга простирается от \( \frac{\pi}{6} \) до \( 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \). Удобнее записать этот интервал как \( (\frac{\pi}{6}, 2\pi - \frac{\pi}{6}) \) или как \( (\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}) \) при обходе против часовой стрелки. Возьмем интервал, начинающийся с меньшего по абсолютной величине отрицательного угла.
• Шаг 3: Записываем общее решение с учетом периодичности. Начинаем с \( \frac{\pi}{6} \) и идем до \( -\frac{\pi}{6} \) через \( \pi \), что соответствует интервалу \( (\frac{\pi}{6}, 2\pi - \frac{\pi}{6}) \) или, более стандартно, \( (\frac{\pi}{6}, 2\pi + (2\pi - \frac{\pi}{6})) \) — нет, лучше от \( \frac{\pi}{6} \) до \( 2\pi - \frac{\pi}{6} \). Правильный обход: от \( \frac{\pi}{6} \) против часовой стрелки до \( 2\pi - \frac{\pi}{6} \), но для записи от меньшего к большему углу, начинаем с угла \( -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \) и заканчиваем \( \frac{\pi}{6} \) или, наоборот, от \( \frac{\pi}{6} \) до \( 2\pi - \frac{\pi}{6} \) — нет, для '<' обходим от \( \arccos a \) до \( 2\pi - \arccos a \).
  На единичной окружности отметки \( \frac{\pi}{6} \) и \( -\frac{\pi}{6} \). Нам нужна дуга, которая не включает эти точки, а находится за ними в сторону уменьшения косинуса. Это дуга от \( \frac{\pi}{6} \) до \( 2\pi - \frac{\pi}{6} \). Чтобы записать ее в порядке возрастания, начинаем с \( \frac{\pi}{6} \) и заканчиваем \( -\frac{\pi}{6} \) в следующем периоде.
  Возьмем угол \( \frac{\pi}{6} \) и \( -\frac{\pi}{6} \). Искомый интервал — от \( \frac{\pi}{6} \) до \( -\frac{\pi}{6} \) (обход против часовой стрелки), или \( \frac{\pi}{6} < x < 2\pi - \frac{\pi}{6} \). Корректный общий вид: \( \arccos a + 2\pi n < x < 2\pi - \arccos a + 2\pi n \).

Ответ: \( \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство \( \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \) означает, что абсцисса точки на единичной окружности должна быть строго больше \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

• Шаг 1: Находим корни уравнения \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Корни в интервале \( [0, 2\pi] \) равны \( \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \) и \( \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \) (или \( -\frac{5\pi}{6} \)).
• Шаг 2: Определяем дугу на единичной окружности, где абсцисса строго больше \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Эта дуга лежит справа от вертикальной прямой \( x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Начинаем с угла \( -\frac{5\pi}{6} \) и идем до \( \frac{5\pi}{6} \) против часовой стрелки.
• Шаг 3: Записываем общее решение. Используем формулу для \( \cos x > a \): \( -\arccos a + 2\pi n < x < \arccos a + 2\pi n \).
  \( \arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5\pi}{6} \).

Ответ: \( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство \( \cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2} \) означает, что абсцисса точки на единичной окружности не должна превышать \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

• Шаг 1: Находим корни уравнения \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Корни в интервале \( [0, 2\pi] \) равны \( \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \) и \( \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \).
• Шаг 2: Определяем дугу на единичной окружности, где абсцисса меньше или равна \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Эта дуга лежит слева от вертикальной прямой \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Начинаем с угла \( \frac{3\pi}{4} \) и идем до \( \frac{5\pi}{4} \) против часовой стрелки.
• Шаг 3: Записываем общее решение. Используем формулу для \( \cos x \le a \): \( \arccos a + 2\pi n \le x \le 2\pi - \arccos a + 2\pi n \).
  \( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3\pi}{4} \).

Ответ: \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство вида \( \cos x > a \) решается с помощью единичной окружности. Решением являются все углы, для которых абсцисса соответствующей точки больше \( a \). Для \( -1 \le a < 1 \), общее решение неравенства \( \cos x > a \) имеет вид: \( -\arccos a + 2 \pi n < x < \arccos a + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Знак неравенства меняет форму записи.

Неравенство вида \( \sin x > a \) решается с помощью единичной окружности. Решением являются все углы, для которых ордината соответствующей точки больше \( a \). Для \( -1 \le a < 1 \), общее решение неравенства \( \sin x > a \) имеет вид: \( \arcsin a + 2 \pi n < x < \pi - \arcsin a + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Знак неравенства меняет форму записи.

Связь между синусом и косинусом одного и того же угла.

Формула, связывающая синус двойного угла с синусом и косинусом одинарного угла.