ГДЗ: Упражнение 652 - § 37 (Примеры простейших тригонометрических неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Дано неравенство \( \sqrt{2} \cos 2x \le 1 \).

• Шаг 1: Приводим к простейшему виду. Делим обе части на \( \sqrt{2} \): \( \cos 2x \le \frac{1}{\sqrt{2}} \) или \( \cos 2x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Шаг 2: Вводим замену переменной. Пусть \( y = 2x \). Неравенство примет вид: \( \cos y \le \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Шаг 3: Решаем простейшее неравенство для \( y \). Находим корни уравнения \( \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \), это \( y = \pm \frac{\pi}{4} \). Для \( \cos y \le \frac{\sqrt{2}}{2} \) подходит интервал от \( \frac{\pi}{4} \) до \( 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \).
  Общее решение: \( \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le y \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
• Шаг 4: Возвращаемся к переменной \( x \). Подставляем \( y = 2x \):
  \( \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le 2x \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \).
  Делим все части на 2:
  \( \frac{\pi}{8} + \pi n \le x \le \frac{7\pi}{8} + \pi n \).

Ответ: \( \frac{\pi}{8} + \pi n \le x \le \frac{7\pi}{8} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Дано неравенство \( 2 \sin 3x > -1 \).

• Шаг 1: Приводим к простейшему виду. Делим обе части на 2: \( \sin 3x > -\frac{1}{2} \).
• Шаг 2: Вводим замену переменной. Пусть \( y = 3x \). Неравенство примет вид: \( \sin y > -\frac{1}{2} \).
• Шаг 3: Решаем простейшее неравенство для \( y \). Находим корни уравнения \( \sin y = -\frac{1}{2} \), это \( y = -\frac{\pi}{6} \) и \( y = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6} \). Для \( \sin y > -\frac{1}{2} \) подходит дуга от \( -\frac{\pi}{6} \) до \( \frac{7\pi}{6} \).
  Общее решение: \( -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < y < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
• Шаг 4: Возвращаемся к переменной \( x \). Подставляем \( y = 3x \):
  \( -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \).
  Делим все части на 3:
  \( -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Дано неравенство \( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \le \frac{\sqrt{2}}{2} \).

• Шаг 1: Вводим замену переменной. Пусть \( y = x + \frac{\pi}{4} \). Неравенство примет вид: \( \sin y \le \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Шаг 2: Решаем простейшее неравенство для \( y \). Находим корни уравнения \( \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2} \), это \( y = \frac{\pi}{4} \) и \( y = \frac{3\pi}{4} \). Для \( \sin y \le \frac{\sqrt{2}}{2} \) подходит дуга от \( \frac{3\pi}{4} \) до \( 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \).
  Общее решение: \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le y \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
• Шаг 3: Возвращаемся к переменной \( x \). Подставляем \( y = x + \frac{\pi}{4} \) и вычитаем \( \frac{\pi}{4} \) из всех частей:
  \( \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)
  \( \frac{2\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{8\pi}{4} + 2\pi n \)
  \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le 2\pi + 2\pi n \).

Ответ: \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le 2\pi (n+1) \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Дано неравенство \( \cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \).

• Шаг 1: Вводим замену переменной. Пусть \( y = x - \frac{\pi}{6} \). Неравенство примет вид: \( \cos y \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Шаг 2: Решаем простейшее неравенство для \( y \). Находим корни уравнения \( \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \), это \( y = \pm \frac{\pi}{6} \). Для \( \cos y \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \) подходит дуга от \( -\frac{\pi}{6} \) до \( \frac{\pi}{6} \).
  Общее решение: \( -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le y \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
• Шаг 3: Возвращаемся к переменной \( x \). Подставляем \( y = x - \frac{\pi}{6} \) и прибавляем \( \frac{\pi}{6} \) ко всем частям:
  \( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \)
  \( 2\pi n \le x \le \frac{2\pi}{6} + 2\pi n \)
  \( 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \).

Ответ: \( 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство вида \( \cos x > a \) решается с помощью единичной окружности. Решением являются все углы, для которых абсцисса соответствующей точки больше \( a \). Для \( -1 \le a < 1 \), общее решение неравенства \( \cos x > a \) имеет вид: \( -\arccos a + 2 \pi n < x < \arccos a + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Знак неравенства меняет форму записи.

Неравенство вида \( \sin x > a \) решается с помощью единичной окружности. Решением являются все углы, для которых ордината соответствующей точки больше \( a \). Для \( -1 \le a < 1 \), общее решение неравенства \( \sin x > a \) имеет вид: \( \arcsin a + 2 \pi n < x < \pi - \arcsin a + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Знак неравенства меняет форму записи.

Связь между синусом и косинусом одного и того же угла.

Формула, связывающая синус двойного угла с синусом и косинусом одинарного угла.