ГДЗ: Упражнение 651 - § 37 (Примеры простейших тригонометрических неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Неравенство \( \sin x \ge -\sqrt{2} \).

• Шаг 1: Анализ. Область значений функции синус находится в пределах \( [-1, 1] \). Так как \( -\sqrt{2} \approx -1.414 \), то \( -\sqrt{2} < -1 \).
• Шаг 2: Вывод. Поскольку минимальное значение \( \sin x \) равно -1, и \( -1 \ge -\sqrt{2} \), неравенство \( \sin x \ge -\sqrt{2} \) выполняется для любого действительного числа \( x \).

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \) или \( -\infty < x < +\infty \).

Неравенство \( \sin x \le -1 \).

• Шаг 1: Анализ. Область значений функции синус находится в пределах \( [-1, 1] \).
• Шаг 2: Вывод. Поскольку минимальное значение \( \sin x \) равно -1, неравенство \( \sin x \le -1 \) эквивалентно уравнению \( \sin x = -1 \).
• Шаг 3: Решаем уравнение \( \sin x = -1 \). Общее решение: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство \( \sin x \le -1 \).

• Шаг 1: Анализ. Область значений функции синус находится в пределах \( [-1, 1] \).
• Шаг 2: Вывод. Аналогично варианту 2, поскольку минимальное значение \( \sin x \) равно -1, неравенство \( \sin x \le -1 \) эквивалентно уравнению \( \sin x = -1 \).
• Шаг 3: Решаем уравнение \( \sin x = -1 \). Общее решение: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство \( \sin x \ge 1 \).

• Шаг 1: Анализ. Область значений функции синус находится в пределах \( [-1, 1] \).
• Шаг 2: Вывод. Поскольку максимальное значение \( \sin x \) равно 1, неравенство \( \sin x \ge 1 \) эквивалентно уравнению \( \sin x = 1 \).
• Шаг 3: Решаем уравнение \( \sin x = 1 \). Общее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство вида \( \cos x > a \) решается с помощью единичной окружности. Решением являются все углы, для которых абсцисса соответствующей точки больше \( a \). Для \( -1 \le a < 1 \), общее решение неравенства \( \cos x > a \) имеет вид: \( -\arccos a + 2 \pi n < x < \arccos a + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Знак неравенства меняет форму записи.

Неравенство вида \( \sin x > a \) решается с помощью единичной окружности. Решением являются все углы, для которых ордината соответствующей точки больше \( a \). Для \( -1 \le a < 1 \), общее решение неравенства \( \sin x > a \) имеет вид: \( \arcsin a + 2 \pi n < x < \pi - \arcsin a + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Знак неравенства меняет форму записи.

Связь между синусом и косинусом одного и того же угла.

Формула, связывающая синус двойного угла с синусом и косинусом одинарного угла.