ГДЗ: Упражнение 649 - § 37 (Примеры простейших тригонометрических неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Неравенство \( \cos x \le \sqrt{3} \).

• Шаг 1: Анализ. Известно, что область значений функции косинус находится в пределах \( [-1, 1] \). Так как \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), то \( \sqrt{3} > 1 \).
• Шаг 2: Вывод. Поскольку максимальное значение \( \cos x \) равно 1, и \( 1 \le \sqrt{3} \), неравенство \( \cos x \le \sqrt{3} \) выполняется для любого действительного числа \( x \).

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \) или \( -\infty < x < +\infty \).

Неравенство \( \cos x < -2 \).

• Шаг 1: Анализ. Область значений функции косинус находится в пределах \( [-1, 1] \).
• Шаг 2: Вывод. Так как минимальное значение \( \cos x \) равно -1, и \( -1 \not< -2 \), неравенство \( \cos x < -2 \) не выполняется ни для какого действительного числа \( x \).

Ответ: Решений нет или \( x \in \emptyset \).

Неравенство \( \cos x > 1 \).

• Шаг 1: Анализ. Область значений функции косинус находится в пределах \( [-1, 1] \).
• Шаг 2: Вывод. Максимальное значение \( \cos x \) равно 1. Условие \( \cos x > 1 \) не выполняется ни для какого действительного числа \( x \).

Ответ: Решений нет или \( x \in \emptyset \).

Неравенство \( \cos x < -1 \).

• Шаг 1: Анализ. Область значений функции косинус находится в пределах \( [-1, 1] \).
• Шаг 2: Вывод. Минимальное значение \( \cos x \) равно -1. Условие \( \cos x < -1 \) не выполняется ни для какого действительного числа \( x \).

Ответ: Решений нет или \( x \in \emptyset \).

Неравенство вида \( \cos x > a \) решается с помощью единичной окружности. Решением являются все углы, для которых абсцисса соответствующей точки больше \( a \). Для \( -1 \le a < 1 \), общее решение неравенства \( \cos x > a \) имеет вид: \( -\arccos a + 2 \pi n < x < \arccos a + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Знак неравенства меняет форму записи.

Неравенство вида \( \sin x > a \) решается с помощью единичной окружности. Решением являются все углы, для которых ордината соответствующей точки больше \( a \). Для \( -1 \le a < 1 \), общее решение неравенства \( \sin x > a \) имеет вид: \( \arcsin a + 2 \pi n < x < \pi - \arcsin a + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Знак неравенства меняет форму записи.

Связь между синусом и косинусом одного и того же угла.

Формула, связывающая синус двойного угла с синусом и косинусом одинарного угла.