ГДЗ: Упражнение 650 - § 37 (Примеры простейших тригонометрических неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Неравенство \( \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} \) означает, что ордината точки на единичной окружности должна быть строго больше \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

• Шаг 1: Находим корни уравнения \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Корни в интервале \( [0, 2\pi] \) равны \( \frac{\pi}{4} \) и \( \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).
• Шаг 2: Определяем дугу на единичной окружности, где ордината строго больше \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Эта дуга лежит выше горизонтальной прямой \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Начинаем с угла \( \frac{\pi}{4} \) и идем до \( \frac{3\pi}{4} \) против часовой стрелки.
• Шаг 3: Записываем общее решение с учетом периодичности \( 2\pi n \). Используем формулу для \( \sin x > a \): \( \arcsin a + 2\pi n < x < \pi - \arcsin a + 2\pi n \).

Ответ: \( \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство \( \sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2} \) означает, что ордината точки на единичной окружности должна быть меньше или равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

• Шаг 1: Находим корни уравнения \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Корни в интервале \( [0, 2\pi] \) равны \( \frac{\pi}{3} \) и \( \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).
• Шаг 2: Определяем дугу на единичной окружности, где ордината меньше или равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Эта дуга лежит ниже или на горизонтальной прямой \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Начинаем с угла \( \frac{2\pi}{3} \) и идем до \( \frac{\pi}{3} \) в следующем периоде (или до \( 2\pi + \frac{\pi}{3} \) при обходе против часовой стрелки), либо начинаем с \( -\frac{4\pi}{3} \) (т.е. \( \frac{2\pi}{3} - 2\pi \)) и идем до \( \frac{\pi}{3} \). Проще всего: от \( \frac{2\pi}{3} \) до \( 2\pi + \frac{\pi}{3} \).
• Шаг 3: Записываем общее решение. Интервал от \( \frac{2\pi}{3} \) до \( 2\pi + \frac{\pi}{3} \).

Ответ: \( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{7\pi}{3} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \) означает, что ордината точки на единичной окружности должна быть строго меньше \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

• Шаг 1: Находим корни уравнения \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Корни в интервале \( [-\pi, \pi] \) равны \( -\frac{\pi}{4} \) и \( -\pi - (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{3\pi}{4} \).
• Шаг 2: Определяем дугу на единичной окружности, где ордината строго меньше \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Эта дуга лежит ниже горизонтальной прямой \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Начинаем с угла \( -\frac{3\pi}{4} \) и идем до \( -\frac{\pi}{4} \) против часовой стрелки.
• Шаг 3: Записываем общее решение.

Ответ: \( -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство \( \sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \) означает, что ордината точки на единичной окружности должна быть строго больше \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

• Шаг 1: Находим корни уравнения \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Корни в интервале \( [-\pi, \pi] \) равны \( -\frac{\pi}{3} \) и \( -\pi - (-\frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3} \).
• Шаг 2: Определяем дугу на единичной окружности, где ордината строго больше \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Эта дуга лежит выше горизонтальной прямой \( y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Начинаем с угла \( -\frac{\pi}{3} \) и идем до \( 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \) (или до \( -\frac{2\pi}{3} \) в следующем периоде). Правильный обход: от \( -\frac{2\pi}{3} \) до \( -\frac{\pi}{3} \) в следующем периоде, то есть до \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \).
• Шаг 3: Записываем общее решение. Интервал от \( -\frac{2\pi}{3} \) до \( \pi - (-\frac{2\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} \) или более компактно от \( -\frac{2\pi}{3} \) до \( \pi - (\pi - \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} \) — нет, это неверно. Используем: \( \arcsin a + 2\pi n < x < \pi - \arcsin a + 2\pi n \).
  Нам нужен интервал от \( \arcsin a \) до \( \pi - \arcsin a \).
  \( \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3} \).
  Интервал: \( -\frac{2\pi}{3} \) до \( \frac{\pi}{3} \).

Ответ: \( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Неравенство вида \( \cos x > a \) решается с помощью единичной окружности. Решением являются все углы, для которых абсцисса соответствующей точки больше \( a \). Для \( -1 \le a < 1 \), общее решение неравенства \( \cos x > a \) имеет вид: \( -\arccos a + 2 \pi n < x < \arccos a + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Знак неравенства меняет форму записи.

Неравенство вида \( \sin x > a \) решается с помощью единичной окружности. Решением являются все углы, для которых ордината соответствующей точки больше \( a \). Для \( -1 \le a < 1 \), общее решение неравенства \( \sin x > a \) имеет вид: \( \arcsin a + 2 \pi n < x < \pi - \arcsin a + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Знак неравенства меняет форму записи.

Связь между синусом и косинусом одного и того же угла.

Формула, связывающая синус двойного угла с синусом и косинусом одинарного угла.