ГДЗ: Упражнение 836 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило разности, формулу степенной функции \( (x^p)' = px^{p-1} \) и логарифмической функции \( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \).

• Шаг 1: Применим правило разности: \( f'(x) = (x^{\sqrt{3}})' - (\log_3 x)' \).
• Шаг 2: Находим производные:
  \( (x^{\sqrt{3}})' = \sqrt{3} x^{\sqrt{3}-1} \).
  \( (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3} \).
• Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = \sqrt{3} x^{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{x \ln 3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} x^{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{x \ln 3} \)

Используем правило умножения на константу и цепное правило для логарифма: \( (c \ln(g(x)))' = c \frac{1}{g(x)} g'(x) \).

• Шаг 1: Применим правило: \( f'(x) = 5 \cdot (\ln (x^2 - 2x))' \).
• Шаг 2: Находим производную сложной функции (где \( g(x) = x^2 - 2x \)):
  \( (\ln (x^2 - 2x))' = \frac{1}{x^2 - 2x} \cdot (x^2 - 2x)' \).
  \( (x^2 - 2x)' = 2x - 2 \).
• Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = 5 \cdot \frac{2x - 2}{x^2 - 2x} = \frac{10(x-1)}{x(x-2)} \).

Ответ: \( \frac{10(x-1)}{x(x-2)} \)

Предполагаю опечатку в номере 3, основываясь на структуре заданий, и что функция должна быть \( f(x) = (3x^2 - 2)^{\sqrt{2}} \). Если же это то, что написано, то применим правило разности, цепное правило для степенной функции и логарифмической функции.

• Шаг 1: Применим правило разности: \( f'(x) = ((3x^2 - 2)^{\sqrt{2}})' - (\log_3 x)' \).
• Шаг 2: Находим производную первой части (сложная функция \( g(x)^p \), где \( g(x) = 3x^2 - 2 \)):
  \( ((3x^2 - 2)^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2} (3x^2 - 2)^{\sqrt{2}-1} \cdot (3x^2 - 2)' \).
  \( (3x^2 - 2)' = 6x \).
  Таким образом, \( ((3x^2 - 2)^{\sqrt{2}})' = 6\sqrt{2} x (3x^2 - 2)^{\sqrt{2}-1} \).
• Шаг 3: Находим производную второй части:
  \( (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3} \).
• Шаг 4: Записываем результат: \( f'(x) = 6\sqrt{2} x (3x^2 - 2)^{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{x \ln 3} \).

Ответ (в соответствии с текстом): \( 6\sqrt{2} x (3x^2 - 2)^{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{x \ln 3} \)