Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 47 / Задание 854

ГДЗ: Упражнение 854 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 245, 246, 247, 248, 249, 250
Глава: Глава 8
Параграф: § 47 - Производные некоторых элементарных функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

854 упражнение:

Вычислить \( f'(x) + f(x) + 2 \), если \( f(x) = x \sin 2x \), \( x = \pi \).

1)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Используем правило произведения \( (u v)' = u'v + u v' \), где \( u = x \) и \( v = \sin 2x \).

  • \( u' = (x)' = 1 \).
  • \( v' = (\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2 \cos 2x \).
  • \( f'(x) = 1 \cdot \sin 2x + x \cdot 2 \cos 2x = \sin 2x + 2x \cos 2x \).

Шаг 2: Вычисляем \( f(x) \) и \( f'(x) \) при \( x = \pi \).

  • \( f(\pi) = \pi \sin (2\pi) = \pi \cdot 0 = 0 \).
  • \( f'(\pi) = \sin (2\pi) + 2\pi \cos (2\pi) = 0 + 2\pi \cdot 1 = 2\pi \).

Шаг 3: Вычисляем требуемое выражение: \( f'(\pi) + f(\pi) + 2 \).
\( f'(\pi) + f(\pi) + 2 = 2\pi + 0 + 2 = 2\pi + 2 \).

Ответ: \( 2\pi + 2 \)

Что применять при решении

Правило дифференцирования суммы и разности
Производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных.
\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
Правило дифференцирования произведения на константу
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
\( (cf(x))' = cf'(x) \)
Производная степенной функции
Формула для нахождения производной функции вида \( x^p \), где \( p \) — любое действительное число.
\( (x^p)' = px^{p-1} \)
Производная показательной функции
Формула для нахождения производной функции \( a^x \) и частный случай для натурального основания \( e \).
\( (a^x)' = a^x \ln a \), \( (e^x)' = e^x \)
Производная логарифмической функции
Формула для нахождения производной натурального логарифма \( \ln x \) и логарифма по произвольному основанию \( a \).
\( (\ln x)' = \frac{1}{x} \), \( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \)
Производные тригонометрических функций
Формулы для нахождения производных синуса, косинуса и тангенса.
\( (\sin x)' = \cos x \), \( (\cos x)' = -\sin x \), \( (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \)
Правило дифференцирования сложной функции (Цепное правило)
Производная сложной функции \( f(g(x)) \) равна произведению производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции.
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Правило дифференцирования произведения
Производная произведения двух функций.
\( (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
Правило дифференцирования частного
Производная частного двух функций.
\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 47

831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.