ГДЗ: Упражнение 856 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Используем цепное правило для \( \ln(g(x)) \), где \( g(x) = x^3 - 3x + 6 \).
\( f'(x) = \frac{(x^3 - 3x + 6)'}{x^3 - 3x + 6} = \frac{3x^2 - 3}{x^3 - 3x + 6} = \frac{3(x^2 - 1)}{x^3 - 3x + 6} \).

Шаг 2: Определяем область определения функции \( f(x) \).
Аргумент логарифма должен быть положительным: \( x^3 - 3x + 6 > 0 \).
Условие в задаче: \( x < 2 \) и \( x > 3 \) (это не область определения, а интервалы, на которых нужно найти производную). Проверим, принадлежат ли эти интервалы области определения.

• Пусть \( g(x) = x^3 - 3x + 6 \). Найдем критические точки \( g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 0 \), то есть \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
• Локальный максимум при \( x=-1 \): \( g(-1) = -1 + 3 + 6 = 8 \).
• Локальный минимум при \( x=1 \): \( g(1) = 1 - 3 + 6 = 4 \).
• Поскольку локальный минимум \( g(1) = 4 > 0 \), и функция стремится к \( \pm \infty \) при \( x \to \pm \infty \), то \( x^3 - 3x + 6 > 0 \) для всех \( x \ge 1 \).
• Для \( x < -1 \) функция \( g(x) \) убывает и уходит в \( -\infty \). Уравнение \( x^3 - 3x + 6 = 0 \) имеет один действительный корень \( x_0 \in (-2, -1) \).
• Таким образом, область определения: \( x > x_0 \) (где \( x_0 \approx -1.89 \)).
• Интервалы \( x < 2 \) и \( x > 3 \) не полностью лежат в области определения. Если условие в задаче - это объединение интервалов, то область интереса: \( (x_0, 2) \cup (3, +\infty) \).

Шаг 3: Производная найдена в Шаге 1. Требуется просто записать ее для указанных \( x \) (подразумевая, что \( x \) принадлежит области определения).

Ответ: \( f'(x) = \frac{3(x^2 - 1)}{x^3 - 3x + 6} \) при \( x < 2 \) и \( x > 3 \) (в рамках области определения функции).