ГДЗ: Упражнение 850 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2} \), где \( u = e^x - e^{-x} \) и \( v = x \).

• Шаг 1: Находим производные:
  \( u' = (e^x - e^{-x})' = e^x - e^{-x} \cdot (-1) = e^x + e^{-x} \).
  \( v' = (x)' = 1 \).
• Шаг 2: Применяем правило частного:
  \( f'(x) = \frac{(e^x + e^{-x}) \cdot x - (e^x - e^{-x}) \cdot 1}{x^2} \)
• Шаг 3: Раскрываем скобки и упрощаем числитель:
  \( f'(x) = \frac{x e^x + x e^{-x} - e^x + e^{-x}}{x^2} \).

Ответ: \( \frac{x e^x + x e^{-x} - e^x + e^{-x}}{x^2} \)

Перепишем функцию, вынося константу \( \frac{1}{\ln 2} \):
\( f(x) = \frac{1}{\ln 2} (2^x - \log_2 x) \).
Используем правило умножения на константу и правило разности.

• Шаг 1: Находим производную:
  \( f'(x) = \frac{1}{\ln 2} ( (2^x)' - (\log_2 x)' ) \)
• Шаг 2: Находим производные в скобках:
  \( (2^x)' = 2^x \ln 2 \).
  \( (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2} \).
• Шаг 3: Подставляем и упрощаем:
  \( f'(x) = \frac{1}{\ln 2} \left( 2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2} \right) \)
  \( f'(x) = \frac{2^x \ln 2}{\ln 2} - \frac{1}{x \ln 2 \cdot \ln 2} = 2^x - \frac{1}{x (\ln 2)^2} \).

Ответ: \( 2^x - \frac{1}{x (\ln 2)^2} \)