Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 47 / Задание 838

ГДЗ: Упражнение 838 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 245, 246, 247, 248, 249, 250
Глава: Глава 8
Параграф: § 47 - Производные некоторых элементарных функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

838 упражнение:

Найти производную функции:

1) \( f(x) = \sin (2x-1) \)

Используем формулу производной сложной тригонометрической функции: \( (\sin(kx+b))' = k \cos(kx+b) \) с \( k=2 \) и \( b=-1 \).

  • Шаг 1: Применим цепное правило: \( f'(x) = \cos (2x-1) \cdot (2x-1)' \).
  • Шаг 2: Находим производную внутренней функции: \( (2x-1)' = 2 \).
  • Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = 2 \cos (2x-1) \).

Ответ: \( 2 \cos (2x-1) \)

2) \( f(x) = \cos (2 + x) \)

Используем формулу производной сложной тригонометрической функции: \( (\cos(kx+b))' = -k \sin(kx+b) \) с \( k=1 \) и \( b=2 \).

  • Шаг 1: Применим цепное правило: \( f'(x) = -\sin (2+x) \cdot (2+x)' \).
  • Шаг 2: Находим производную внутренней функции: \( (2+x)' = 1 \).
  • Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = -\sin (2+x) \cdot 1 = -\sin (2+x) \).

Ответ: \( -\sin (2+x) \)

3) \( f(x) = \sin (3-4x) \)

Используем формулу производной сложной тригонометрической функции: \( (\sin(kx+b))' = k \cos(kx+b) \) с \( k=-4 \) и \( b=3 \).

  • Шаг 1: Применим цепное правило: \( f'(x) = \cos (3-4x) \cdot (3-4x)' \).
  • Шаг 2: Находим производную внутренней функции: \( (3-4x)' = -4 \).
  • Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = -4 \cos (3-4x) \).

Ответ: \( -4 \cos (3-4x) \)

4) \( f(x) = \cos (x^3) \)

Используем цепное правило для \( \cos(g(x)) \), где \( g(x) = x^3 \).

  • Шаг 1: Применим цепное правило: \( f'(x) = -\sin (x^3) \cdot (x^3)' \).
  • Шаг 2: Находим производную внутренней функции: \( (x^3)' = 3x^2 \).
  • Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = -3x^2 \sin (x^3) \).

Ответ: \( -3x^2 \sin (x^3) \)

Что применять при решении

Правило дифференцирования суммы и разности
Производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных.
\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
Правило дифференцирования произведения на константу
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
\( (cf(x))' = cf'(x) \)
Производная степенной функции
Формула для нахождения производной функции вида \( x^p \), где \( p \) — любое действительное число.
\( (x^p)' = px^{p-1} \)
Производная показательной функции
Формула для нахождения производной функции \( a^x \) и частный случай для натурального основания \( e \).
\( (a^x)' = a^x \ln a \), \( (e^x)' = e^x \)
Производная логарифмической функции
Формула для нахождения производной натурального логарифма \( \ln x \) и логарифма по произвольному основанию \( a \).
\( (\ln x)' = \frac{1}{x} \), \( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \)
Производные тригонометрических функций
Формулы для нахождения производных синуса, косинуса и тангенса.
\( (\sin x)' = \cos x \), \( (\cos x)' = -\sin x \), \( (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \)
Правило дифференцирования сложной функции (Цепное правило)
Производная сложной функции \( f(g(x)) \) равна произведению производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции.
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Правило дифференцирования произведения
Производная произведения двух функций.
\( (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
Правило дифференцирования частного
Производная частного двух функций.
\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 47

831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.