ГДЗ: Упражнение 988 - § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \) и правила для суммы и вынесения константы.

• Шаг 1: Находим первообразную для \( 2x^5 \): \( 2 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} = 2 \cdot \frac{x^6}{6} = \frac{x^6}{3} \).
• Шаг 2: Находим первообразную для \( 3x^2 \): \( 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \).
• Шаг 3: Складываем результаты и опускаем константу \( C \), так как требуется одна первообразная: \( F(x) = \frac{x^6}{3} - x^3 \).

Ответ: \( \frac{x^6}{3} - x^3 \)

Применяем правило интегрирования степенной функции:

• Шаг 1: Первообразная для \( 5x^4 \): \( 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 \).
• Шаг 2: Первообразная для \( 2x^3 \): \( 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2} \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = x^5 + \frac{x^4}{2} \).

Ответ: \( x^5 + \frac{x^4}{2} \)

Перепишем функцию в виде степенной: \( f(x) = 2 + 3x^{-2} \).

• Шаг 1: Первообразная для константы \( 2 \) — это \( 2x \).
• Шаг 2: Первообразная для \( 3x^{-2} \): \( 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -3x^{-1} = -\frac{3}{x} \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 2x - \frac{3}{x} \).

Ответ: \( 2x - \frac{3}{x} \)

Перепишем функцию: \( f(x) = 2x^{-3} - 3x^{-2} \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 2x^{-3} \): \( 2 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \).
• Шаг 2: Первообразная для \( -3x^{-2} \): \( -3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 3x^{-1} = \frac{3}{x} \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} \).

Ответ: \( \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2} \)

Находим первообразную для каждого члена:

• Шаг 1: Для \( 6x^2 \): \( 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \).
• Шаг 2: Для \( -4x \) (где \( x = x^1 \)): \( -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2 \).
• Шаг 3: Для константы \( 3 \): \( 3x \).
• Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x \).

Ответ: \( 2x^3 - 2x^2 + 3x \)

Перепишем функцию в виде степенной: \( f(x) = 4x^{1/3} - 6x^{1/2} \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 4x^{1/3} \): \( 4 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = 4 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} = 4 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} = 3x^{4/3} = 3x \sqrt[3]{x} \).
• Шаг 2: Первообразная для \( -6x^{1/2} \): \( -6 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = -6 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = -6 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = -4x^{3/2} = -4x \sqrt{x} \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 3x \sqrt[3]{x} - 4x \sqrt{x} \).

Ответ: \( 3x \sqrt[3]{x} - 4x \sqrt{x} \)