ГДЗ: Упражнение 991 - § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило \( \int \sin (kx+b) dx = -\frac{1}{k} \cos (kx+b) + C \). Здесь \( k=2 \).

• Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + C \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + C \)

Используем правило \( \int \cos (kx+b) dx = \frac{1}{k} \sin (kx+b) + C \). Здесь \( k=3 \).

• Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = \frac{1}{3} \sin (3x + 4) + C \).

Ответ: \( \frac{1}{3} \sin (3x + 4) + C \)

Здесь \( k = \frac{1}{2} \).

• Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = \frac{1}{1/2} \sin (\frac{x}{2} - 1) + C = 2 \sin (\frac{x}{2} - 1) + C \).

Ответ: \( 2 \sin (\frac{x}{2} - 1) + C \)

Здесь \( k = \frac{1}{4} \).

• Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = -\frac{1}{1/4} \cos (\frac{x}{4} + 5) + C = -4 \cos (\frac{x}{4} + 5) + C \).

Ответ: \( -4 \cos (\frac{x}{4} + 5) + C \)

Используем правило \( \int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Здесь \( k = \frac{1}{2} \).

• Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = \frac{1}{1/2} e^{\frac{x}{2}} + C = 2 e^{\frac{x}{2}} + C \).

Ответ: \( 2 e^{\frac{x}{2}} + C \)

Здесь \( k = 3 \).

• Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = \frac{1}{3} e^{3x-5} + C \).

Ответ: \( \frac{1}{3} e^{3x-5} + C \)

Перепишем функцию: \( f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \). Используем \( \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C \) (для \( x>0 \)).

• Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = \frac{1}{2} \ln x + C \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \ln x + C \)

Используем правило \( \int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k} \ln (kx+b) + C \). Здесь \( k=3 \).

• Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = \frac{1}{3} \ln (3x-1) + C \).

Ответ: \( \frac{1}{3} \ln (3x-1) + C \)