ГДЗ: Упражнение 993 - § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило для линейных функций: \( \int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \) и \( \int \cos 3x dx = \frac{1}{3} \sin 3x \).

• Шаг 1: Применяем формулы: \( F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} - \frac{1}{3} \sin 3x \).

Ответ: \( \frac{1}{2} e^{2x} - \frac{1}{3} \sin 3x \)

Используем: \( \int e^x dx = e^x \) и \( \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x \).

• Шаг 1: Применяем формулы: \( F(x) = e^x - \frac{1}{2} \cos 2x \).

Ответ: \( e^x - \frac{1}{2} \cos 2x \)

Применяем правило для линейных функций. Коэффициенты \( k \) равны: \( \frac{1}{2} \), \( 2 \), \( 1 \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 2 \sin \frac{x}{2} \): \( 2 \cdot (-\frac{1}{1/2} \cos \frac{x}{2}) = -4 \cos \frac{x}{2} \).
• Шаг 2: Первообразная для \( -5e^{2x + 1} \): \( -5 \cdot \frac{1}{2} e^{2x+1} = -\frac{5}{2} e^{2x+1} \).
• Шаг 3: Первообразная для \( -\frac{3}{x - 5} \): \( -3 \ln (x-5) \).
• Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = -4 \cos \frac{x}{2} - \frac{5}{2} e^{2x+1} - 3 \ln (x-5) \).

Ответ: \( -4 \cos \frac{x}{2} - \frac{5}{2} e^{2x+1} - 3 \ln (x-5) \)

Применяем правило для линейных функций. Коэффициенты \( k \) равны: \( \frac{1}{7} \), \( 3 \), \( 1 \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 3 \cos \frac{x}{7} \): \( 3 \cdot (\frac{1}{1/7} \sin \frac{x}{7}) = 21 \sin \frac{x}{7} \).
• Шаг 2: Первообразная для \( 2e^{3x - 2} \): \( 2 \cdot \frac{1}{3} e^{3x-2} = \frac{2}{3} e^{3x-2} \).
• Шаг 3: Первообразная для \( -\frac{4}{x - 2} \): \( -4 \ln (x-2) \).
• Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = 21 \sin \frac{x}{7} + \frac{2}{3} e^{3x-2} - 4 \ln (x-2) \).

Ответ: \( 21 \sin \frac{x}{7} + \frac{2}{3} e^{3x-2} - 4 \ln (x-2) \)

Перепишем первый член: \( \frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-1/2} \). Для второго члена \( k=4 \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 2x^{-1/2} \): \( 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4\sqrt{x} \).
• Шаг 2: Первообразная для \( 4 \sin (4x + 2) \): \( 4 \cdot (-\frac{1}{4} \cos (4x + 2)) = -\cos (4x + 2) \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 4\sqrt{x} - \cos (4x + 2) \).

Ответ: \( 4\sqrt{x} - \cos (4x + 2) \)

Перепишем первый член: \( 6(3x+1)^{-1/2} \). Для первого члена \( k=3, p=-1/2 \). Для второго члена \( k=2 \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 6(3x+1)^{-1/2} \): \( 6 \cdot \frac{(3x+1)^{1/2}}{3 \cdot 1/2} = 6 \cdot \frac{2}{3} \sqrt{3x+1} = 4 \sqrt{3x+1} \).
• Шаг 2: Первообразная для \( -\frac{3}{2x - 5} \): \( -3 \cdot \frac{1}{2} \ln (2x-5) = -\frac{3}{2} \ln (2x-5) \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 4 \sqrt{3x+1} - \frac{3}{2} \ln (2x-5) \).

Ответ: \( 4 \sqrt{3x+1} - \frac{3}{2} \ln (2x-5) \)