ГДЗ: Упражнение 989 - § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем табличные первообразные: \( \int \cos x dx = \sin x + C \) и \( \int \sin x dx = -\cos x + C \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 3 \cos x \): \( 3 \sin x \).
• Шаг 2: Первообразная для \( -4 \sin x \): \( -4 (-\cos x) = 4 \cos x \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 3 \sin x + 4 \cos x \).

Ответ: \( 3 \sin x + 4 \cos x \)

Применяем табличные первообразные:

• Шаг 1: Первообразная для \( 5 \sin x \): \( 5 (-\cos x) = -5 \cos x \).
• Шаг 2: Первообразная для \( 2 \cos x \): \( 2 \sin x \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 2 \sin x - 5 \cos x \).

Ответ: \( 2 \sin x - 5 \cos x \)

Используем табличные первообразные: \( \int e^x dx = e^x + C \) и \( \int \cos x dx = \sin x + C \).

• Шаг 1: Первообразная для \( e^x \): \( e^x \).
• Шаг 2: Первообразная для \( -2 \cos x \): \( -2 \sin x \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = e^x - 2 \sin x \).

Ответ: \( e^x - 2 \sin x \)

Применяем табличные первообразные:

• Шаг 1: Первообразная для \( 3e^x \): \( 3e^x \).
• Шаг 2: Первообразная для \( -\sin x \): \( -(-\cos x) = \cos x \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 3e^x + \cos x \).

Ответ: \( 3e^x + \cos x \)

Используем правило для первообразной линейной функции \( \int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k} e^{kx+b} + C \). Здесь \( k = -1 \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 5 \): \( 5x \).
• Шаг 2: Первообразная для \( -e^{-x} \): \( -\frac{1}{-1} e^{-x} = e^{-x} \).
• Шаг 3: Первообразная для \( 3 \cos x \): \( 3 \sin x \).
• Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = 5x + e^{-x} + 3 \sin x \).

Ответ: \( 5x + e^{-x} + 3 \sin x \)

Применяем правила интегрирования. Для \( 3e^{-x} \) имеем \( k = -1 \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 1 \): \( x \).
• Шаг 2: Первообразная для \( 3e^{-x} \): \( 3 \cdot \frac{1}{-1} e^{-x} = -3e^{-x} \).
• Шаг 3: Первообразная для \( -4 \cos x \): \( -4 \sin x \).
• Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = x - 3e^{-x} - 4 \sin x \).

Ответ: \( x - 3e^{-x} - 4 \sin x \)

Перепишем функцию: \( f(x) = 6x^{1/3} - 2 \cdot \frac{1}{x} + 3e^x \). Используем \( \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C \) (при \( x > 0 \)).

• Шаг 1: Первообразная для \( 6x^{1/3} \): \( 6 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} = 6 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} = \frac{9}{2} x \sqrt[3]{x} \).
• Шаг 2: Первообразная для \( -\frac{2}{x} \): \( -2 \ln x \).
• Шаг 3: Первообразная для \( 3e^x \): \( 3e^x \).
• Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = \frac{9}{2} x \sqrt[3]{x} - 2 \ln x + 3e^x \).

Ответ: \( \frac{9}{2} x \sqrt[3]{x} - 2 \ln x + 3e^x \)

Перепишем функцию: \( f(x) = 4x^{-1/2} + 3 \cdot \frac{1}{x} - 2e^{-x} \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 4x^{-1/2} \): \( 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 8x^{1/2} = 8 \sqrt{x} \).
• Шаг 2: Первообразная для \( \frac{3}{x} \): \( 3 \ln x \).
• Шаг 3: Первообразная для \( -2e^{-x} \) (\( k = -1 \)): \( -2 \cdot \frac{1}{-1} e^{-x} = 2e^{-x} \).
• Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = 8 \sqrt{x} + 3 \ln x + 2e^{-x} \).

Ответ: \( 8 \sqrt{x} + 3 \ln x + 2e^{-x} \)