ГДЗ: Упражнение 990 - § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило для линейной функции: \( \int (kx+b)^p dx = \frac{(kx+b)^{p+1}}{k(p+1)} + C \). Здесь \( k=1 \), \( p=4 \).

• Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = \frac{(x+1)^{4+1}}{1 \cdot (4+1)} = \frac{(x+1)^5}{5} \).

Ответ: \( \frac{1}{5} (x+1)^5 \)

Применяем то же правило. Здесь \( k=1 \), \( p=5 \).

• Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = \frac{(x-2)^{5+1}}{1 \cdot (5+1)} = \frac{(x-2)^6}{6} \).

Ответ: \( \frac{1}{6} (x-2)^6 \)

Перепишем функцию: \( f(x) = 2(x-2)^{-1/2} + 3(x+3)^{-1/2} \). Используем правило для \( (kx+b)^p \) с \( p = -1/2 \).

• Шаг 1: Первообразная для \( 2(x-2)^{-1/2} \): \( 2 \cdot \frac{(x-2)^{-1/2+1}}{1 \cdot (-1/2+1)} = 2 \cdot \frac{(x-2)^{1/2}}{1/2} = 4\sqrt{x-2} \).
• Шаг 2: Первообразная для \( 3(x+3)^{-1/2} \): \( 3 \cdot \frac{(x+3)^{1/2}}{1/2} = 6\sqrt{x+3} \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 4\sqrt{x-2} + 6\sqrt{x+3} \).

Ответ: \( 4\sqrt{x-2} + 6\sqrt{x+3} \)

Для \( e^{3x-2} \) используем правило для линейной функции с \( k=3 \): \( \int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k} e^{kx+b} + C \).

• Шаг 1: Первообразная для \( e^{3x-2} \): \( \frac{1}{3} e^{3x-2} \).
• Шаг 2: Первообразная для \( 3 \sin x \): \( 3 (-\cos x) = -3 \cos x \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = \frac{1}{3} e^{3x-2} - 3 \cos x \).

Ответ: \( \frac{1}{3} e^{3x-2} - 3 \cos x \)

Используем правило: \( \int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k} \ln (kx+b) + C \) и \( \int \cos (kx+b) dx = \frac{1}{k} \sin (kx+b) + C \). Здесь \( k=1 \) в обоих случаях.

• Шаг 1: Первообразная для \( \frac{5}{x-1} \): \( 5 \ln (x-1) \).
• Шаг 2: Первообразная для \( 4 \cos (x+2) \): \( 4 \sin (x+2) \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 5 \ln (x-1) + 4 \sin (x+2) \).

Ответ: \( 5 \ln (x-1) + 4 \sin (x+2) \)

Применяем правила интегрирования для линейных функций с \( k=1 \).

• Шаг 1: Первообразная для \( \frac{3}{x-3} \): \( 3 \ln (x-3) \).
• Шаг 2: Первообразная для \( -2 \sin (x-1) \): \( -2 \cdot (-\cos (x-1)) = 2 \cos (x-1) \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 3 \ln (x-3) + 2 \cos (x-1) \).

Ответ: \( 3 \ln (x-3) + 2 \cos (x-1) \)