ГДЗ: Упражнение 1043 - § 60 (Правило произведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Требуется составить двузначные числа, то есть важен порядок цифр (21 \(\ne\) 12). Это размещения.

Цифры в числе должны быть разными, то есть повторения исключены. Это размещения без повторений.

Множество цифр: \(n=3\) (цифры 1, 2, 3). Число мест: \(k=2\).

Первую цифру (разряд десятков) можно выбрать \(3\) способами (1, 2 или 3).

Вторую цифру (разряд единиц) можно выбрать \(2\) способами (любая из оставшихся \(3-1=2\) цифр, так как цифры должны быть разными).

По правилу произведения, общее количество двузначных чисел равно \(3 \cdot 2 = 6\).

Используем формулу \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \): \( A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \).

Требуется составить двузначные числа с разными цифрами из множества \(\{4, 5, 6\}\).

Множество цифр: \(n=3\). Число мест: \(k=2\).

Первую цифру можно выбрать \(3\) способами (4, 5 или 6).

Вторую цифру можно выбрать \(2\) способами (любая из оставшихся \(3-1=2\) цифр).

Общее количество двузначных чисел равно \(3 \cdot 2 = 6\).

\( A_3^2 = 3 \cdot 2 = 6 \).

Требуется составить двузначные числа с разными цифрами из множества \(\{5, 6, 7, 8\}\).

Множество цифр: \(n=4\). Число мест: \(k=2\).

Первую цифру можно выбрать \(4\) способами (5, 6, 7 или 8).

Вторую цифру можно выбрать \(3\) способами (любая из оставшихся \(4-1=3\) цифр).

Общее количество двузначных чисел равно \(4 \cdot 3 = 12\).

\( A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12 \).

Требуется составить двузначные числа с разными цифрами из множества \(\{6, 7, 8, 9\}\).

Множество цифр: \(n=4\). Число мест: \(k=2\).

Первую цифру можно выбрать \(4\) способами.

Вторую цифру можно выбрать \(3\) способами.

Общее количество двузначных чисел равно \(4 \cdot 3 = 12\).

\( A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12 \).

Требуется составить двузначные числа с разными цифрами из множества \(\{0, 2, 4, 6\}\).

Множество цифр: \(n=4\). Число мест: \(k=2\).

Важное ограничение: двузначное число не может начинаться с нуля.

Выбор первой цифры (разряд десятков): Не может быть 0. Из 4 цифр остается \(4-1=3\) способа (2, 4, или 6).

Выбор второй цифры (разряд единиц): Может быть любая из оставшихся цифр. Так как одна ненулевая цифра уже использована, и ноль остается, всего остается \(4-1=3\) способа.

Общее количество двузначных чисел равно \(3 \cdot 3 = 9\).

Требуется составить двузначные числа с разными цифрами из множества \(\{0, 3, 5, 7\}\).

Множество цифр: \(n=4\). Число мест: \(k=2\).

Важное ограничение: двузначное число не может начинаться с нуля.

Выбор первой цифры (разряд десятков): \(3\) способа (3, 5, или 7, так как 0 исключается).

Выбор второй цифры (разряд единиц): \(3\) способа (любая из оставшихся \(4-1=3\) цифр, включая 0).

Общее количество двузначных чисел равно \(3 \cdot 3 = 9\).