Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 68 / Задание 1135

ГДЗ: Упражнение 1135 - § 68 (Сложение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 346, 349, 350
Глава: Глава 12
Параграф: § 68 - Сложение вероятностей
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1135 упражнение:

В ящике находятся 3 белых, 4 синих и 5 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар: 1) цветной; 2) либо белый, либо красный; 3) либо белый, либо синий? Решить задачу двумя способами.

1) цветной

Данные:
Белых шаров (\( Б \)): 3
Синих шаров (\( С \)): 4
Красных шаров (\( К \)): 5
Общее число шаров (\( n \)): \( 3 + 4 + 5 = 12 \).

Способ 1: Использование классического определения вероятности.

  • Шаг 1: Определяем общее число исходов.
    \( n = 12 \).
  • Шаг 2: Определяем число благоприятных исходов.
    Событие \( A \) — шар цветной. Цветные шары — это синие и красные.
    Число цветных шаров: \( m_A = 4 + 5 = 9 \).
  • Шаг 3: Вычисляем вероятность.
    \( P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).

Способ 2: Использование теоремы сложения вероятностей для несовместных событий.

  • Шаг 1: Вычисляем вероятности отдельных событий.
    Пусть \( C \) — вынуть синий шар: \( P(C) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
    Пусть \( K \) — вынуть красный шар: \( P(K) = \frac{5}{12} \).
    Событие \( A \) ("цветной шар") является суммой несовместных событий \( C \) и \( K \): \( A = C + K \).
  • Шаг 2: Применяем теорему сложения.
    \( P(A) = P(C) + P(K) = \frac{4}{12} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).

Ответ: \( \frac{3}{4} \)

2) либо белый, либо красный

Данные:
Белых (\( Б \)): 3, Синих (\( С \)): 4, Красных (\( К \)): 5. Общее \( n = 12 \).

Способ 1: Использование классического определения вероятности.

  • Шаг 1: Определяем число благоприятных исходов.
    Пусть событие \( A \) — "либо белый, либо красный".
    Число благоприятных исходов: \( m_A = m_Б + m_К = 3 + 5 = 8 \).
  • Шаг 2: Вычисляем вероятность.
    \( P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).

Способ 2: Использование теоремы сложения вероятностей для несовместных событий.

  • Шаг 1: Вычисляем вероятности отдельных событий.
    \( P(Б) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \).
    \( P(К) = \frac{5}{12} \).
    События \( Б \) и \( К \) несовместны.
  • Шаг 2: Применяем теорему сложения.
    \( P(A) = P(Б) + P(К) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).

Ответ: \( \frac{2}{3} \)

3) либо белый, либо синий

Данные:
Белых (\( Б \)): 3, Синих (\( С \)): 4, Красных (\( К \)): 5. Общее \( n = 12 \).

Способ 1: Использование классического определения вероятности.

  • Шаг 1: Определяем число благоприятных исходов.
    Пусть событие \( A \) — "либо белый, либо синий".
    Число благоприятных исходов: \( m_A = m_Б + m_С = 3 + 4 = 7 \).
  • Шаг 2: Вычисляем вероятность.
    \( P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{7}{12} \).

Способ 2: Использование теоремы сложения вероятностей для несовместных событий.

  • Шаг 1: Вычисляем вероятности отдельных событий.
    \( P(Б) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \).
    \( P(С) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
    События \( Б \) и \( С \) несовместны.
  • Шаг 2: Применяем теорему сложения.
    \( P(A) = P(Б) + P(С) = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12} \).

Ответ: \( \frac{7}{12} \)

Что применять при решении

Сумма событий (A + B)
Сумма событий \( A \) и \( B \) — это событие, состоящее в наступлении либо только события \( A \), либо только события \( B \), либо событий \( A \) и \( B \) одновременно. Например, при двух выстрелах по мишени событие \( A + B \) — попадание в мишень хотя бы при одном из выстрелов (т.е. \( A \) или \( B \) или \( A \) и \( B \)).
Событие, противоположное A (\( \bar{A} \))
Событие, противоположное событию \( A \), обозначается как \( \bar{A} \) и означает, что событие \( A \) не наступило. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \).
\( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \)
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
Если события \( A \) и \( B \) несовместны (т.е. не могут произойти одновременно, \( A \cap B = \emptyset \)), то вероятность наступления хотя бы одного из них (суммы событий) равна сумме их вероятностей.
\( P(A + B) = P(A) + P(B) \)
Теорема сложения вероятностей для произвольных событий
Вероятность суммы двух произвольных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного наступления (пересечения).
\( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B) \)
Классическое определение вероятности
Вероятность события \( A \) равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию \( A \), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов.
\( P(A) = \frac{m}{n} \)
Формула комбинаторики (Сочетания)
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов без учета порядка (сочетания).
\( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 68

1134 1135 1136 1137 1138 1139 1140 1141 1142 1143 1144
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.