ГДЗ: Упражнение 1143 - § 68 (Сложение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Данные:
Общее число деталей (\( N \)): 100
Бракованных деталей (\( Б \)): 5
Не бракованных деталей (\( \bar{Б} \)): \( 100 - 5 = 95 \)
Выбирают \( k = 4 \) детали.

• Метод: Использование противоположного события.

Шаг 1: Определяем общее число исходов.
Общее число способов выбрать 4 детали из 100:
\( n = C_{100}^4 = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 33 \cdot 49 \cdot 97 = 3 921 225 \).

Шаг 2: Определяем событие и противоположное ему.
Пусть событие \( A \) — "среди 4 выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная деталь".
Противоположное событие \( \bar{A} \) — "среди 4 выбранных деталей нет ни одной бракованной детали", то есть все 4 детали не бракованные.

Шаг 3: Вычисляем число благоприятных исходов для противоположного события.
Число способов выбрать 4 не бракованные детали из 95:
\( m_{\bar{A}} = C_{95}^4 = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 95 \cdot 47 \cdot 31 \cdot 23 = 3 241 155 \).

Шаг 4: Вычисляем вероятность противоположного события.
\( P(\bar{A}) = \frac{m_{\bar{A}}}{n} = \frac{3 241 155}{3 921 225} \).

Шаг 5: Вычисляем вероятность события A.
\( P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{3 241 155}{3 921 225} = \frac{3 921 225 - 3 241 155}{3 921 225} = \frac{680 070}{3 921 225} \).

Упрощение дроби:
Для упрощения заметим, что \( P(A) = 1 - \frac{95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97} \cdot \frac{4!}{4!} = 1 - \frac{95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97} \approx 1 - 0,8266 \approx 0,1734 \).
Используя точные числа:
\( \frac{680070}{3921225} \approx 0,17343 \).

Ответ: \( \frac{680070}{3921225} \) или \( 1 - \frac{3 241 155}{3 921 225} \)

Данные:
Общее число деталей (\( N \)): 100, Бракованных (\( Б \)): 5, Не бракованных (\( \bar{Б} \)): 95. Выбирают \( k = 4 \).
Общее число исходов \( n = C_{100}^4 = 3 921 225 \).

• Метод: Использование противоположного события.

Шаг 1: Определяем событие и противоположное ему.
Пусть событие \( B \) — "среди 4 выбранных деталей окажется хотя бы одна не бракованная деталь".
Противоположное событие \( \bar{B} \) — "среди 4 выбранных деталей нет ни одной не бракованной детали", то есть все 4 детали бракованные.

Шаг 2: Вычисляем число благоприятных исходов для противоположного события.
Число способов выбрать 4 бракованные детали из 5:
\( m_{\bar{B}} = C_5^4 = 5 \).

Шаг 3: Вычисляем вероятность противоположного события.
\( P(\bar{B}) = \frac{m_{\bar{B}}}{n} = \frac{5}{3 921 225} \).

Шаг 4: Вычисляем вероятность события B.
\( P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - \frac{5}{3 921 225} = \frac{3 921 225 - 5}{3 921 225} = \frac{3 921 220}{3 921 225} \).

Упрощение дроби:
Разделим числитель и знаменатель на 5:
\( \frac{3 921 220 \div 5}{3 921 225 \div 5} = \frac{784 244}{784 245} \).

Ответ: \( \frac{784 244}{784 245} \) или \( 1 - \frac{5}{3 921 225} \)