ГДЗ: Упражнение 416 - § 22 (Поворот точки вокруг начала координат) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Анализ угла. Угол поворота \( \alpha = 4\pi \). Поскольку \( 4\pi \) кратно \( 2\pi \) (\( 4\pi = 2 \cdot (2\pi) \)), поворот на этот угол означает совершение двух полных оборотов против часовой стрелки.

Шаг 2: Определение координат. Точка \( P(1; 0) \) после поворота на \( 2\pi k \) радиан, где \( k \) - целое число, возвращается в исходное положение.

Координаты точки \( M \) определяются формулами \( M(\cos\alpha; \sin\alpha) \).

Для \( \alpha = 4\pi \):

• Координата x: \( \cos(4\pi) = \cos(0 + 2 \cdot 2\pi) = \cos 0 = 1 \).
• Координата y: \( \sin(4\pi) = \sin(0 + 2 \cdot 2\pi) = \sin 0 = 0 \).

Ответ: Координаты точки: \( (1; 0) \).

Шаг 1: Анализ угла. Угол поворота \( \alpha = -3\pi \). Отрицательный знак означает поворот по часовой стрелке.

Разложим угол: \( -3\pi = -2\pi - \pi \). Поворот на \( -2\pi \) - это один полный оборот по часовой стрелке, который возвращает точку в \( P(1; 0) \). После этого необходимо совершить поворот на \( -\pi \) (пол-оборота по часовой стрелке).

Шаг 2: Определение координат.

Для \( \alpha = -3\pi \):

• Координата x: \( \cos(-3\pi) = \cos(-\pi) = -1 \). (Поскольку \( \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos\alpha \)).
• Координата y: \( \sin(-3\pi) = \sin(-\pi) = 0 \). (Поскольку \( \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha \)).

Точка находится на отрицательной части оси Ox, то есть \( (-1; 0) \).

Ответ: Координаты точки: \( (-1; 0) \).

Шаг 1: Анализ угла. Угол поворота \( \alpha = -6,5\pi \). Отрицательный знак - поворот по часовой стрелке.

Разложим угол: \( -6,5\pi = -6\pi - 0,5\pi \). Поворот на \( -6\pi \) (\( 3 \cdot (-2\pi) \)) - это три полных оборота по часовой стрелке, возвращающие точку в \( P(1; 0) \). Остается поворот на \( -0,5\pi \), то есть на \( -\frac{\pi}{2} \).

Шаг 2: Определение координат.

Для \( \alpha = -6,5\pi \):

• Координата x: \( \cos(-6,5\pi) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 \).
• Координата y: \( \sin(-6,5\pi) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 \).

Точка находится на отрицательной части оси Oy, то есть \( (0; -1) \).

Ответ: Координаты точки: \( (0; -1) \).

Шаг 1: Анализ угла. Угол поворота \( \alpha = \frac{\pi}{2} \) рад. Это поворот на 90° против часовой стрелки.

Шаг 2: Определение координат. Точка \( P(1; 0) \) перемещается на верхнюю часть оси Oy, в точку с координатами \( (0; 1) \).

Для \( \alpha = \frac{\pi}{2} \):

• Координата x: \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \).
• Координата y: \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \).

Ответ: Координаты точки: \( (0; 1) \).

Шаг 1: Анализ угла. Угол поворота \( \alpha = \frac{4\pi}{3} \). Так как \( \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3} \), точка находится в 3-й четверти.

Шаг 2: Определение координат. Используем табличные значения и формулы приведения.

Для \( \alpha = \frac{4\pi}{3} \):

• Координата x: \( \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \).
• Координата y: \( \sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: Координаты точки: \( (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \).

Шаг 1: Перевод в радианы. Угол \( \alpha = -45^{\circ} \). Переведем в радианы: \( -45^{\circ} = -45 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{4} \) рад. Отрицательный знак - поворот по часовой стрелке, 4-я четверть.

Шаг 2: Определение координат. Используем табличные значения.

Для \( \alpha = -\frac{\pi}{4} \):

• Координата x: \( \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Координата y: \( \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: Координаты точки: \( (\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}) \).