ГДЗ: Упражнение 420 - § 22 (Поворот точки вокруг начала координат) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощение угла. \( 3\pi = 2\pi + \pi \). Поворот на \( 2\pi \) - полный оборот. Остается поворот на \( \pi \) (180° против часовой стрелки).

Шаг 2: Определение координат. Точка находится в \( (-1; 0) \).

• \( \cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1 \).
• \( \sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0 \).

Ответ: Координаты: \( (-1; 0) \).

Шаг 1: Упрощение угла. \( -\frac{7\pi}{2} = -\frac{6\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -3\pi - \frac{\pi}{2} = -2\pi - \pi - \frac{\pi}{2} \). Эквивалентно \( -\pi - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} \) (с точностью до \( 2\pi k \)) или \( -\frac{7\pi}{2} = -4\pi + \frac{\pi}{2} \).

Угол \( -\frac{7\pi}{2} \) соответствует повороту на \( -\frac{\pi}{2} \) после совершения трех полных оборотов по часовой стрелке (\( -6\pi/2 = -3\pi \) не является полным оборотом). Лучше: \( -\frac{7\pi}{2} = -2 \cdot (2\pi) + \frac{\pi}{2} \). Угол совпадает с \( \frac{\pi}{2} \) при повороте против часовой стрелки, или \( -\frac{3\pi}{2} \) по часовой стрелке.

Шаг 2: Определение координат. Точка находится в \( (0; 1) \).

• \( \cos(-\frac{7\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \).
• \( \sin(-\frac{7\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \).

Ответ: Координаты: \( (0; 1) \).

Шаг 1: Упрощение угла. \( -\frac{15\pi}{4} \). Разложим целую часть: \( -\frac{15\pi}{4} = -\frac{16\pi - \pi}{4} = -4\pi + \frac{\pi}{4} \). Поворот на \( -4\pi \) - два полных оборота по часовой стрелке. Остается поворот на \( \frac{\pi}{4} \) (45° против часовой стрелки).

Шаг 2: Определение координат. Точка находится в 1-й четверти.

• \( \cos(-\frac{15\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• \( \sin(-\frac{15\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: Координаты: \( (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \).

Шаг 1: Упрощение угла. \( 5\pi = 4\pi + \pi = 2 \cdot (2\pi) + \pi \). Два полных оборота и дополнительный поворот на \( \pi \) (180° против часовой стрелки).

Шаг 2: Определение координат. Точка находится в \( (-1; 0) \).

• \( \cos(5\pi) = \cos(\pi) = -1 \).
• \( \sin(5\pi) = \sin(\pi) = 0 \).

Ответ: Координаты: \( (-1; 0) \).

Шаг 1: Перевод в радианы/Упрощение угла. \( 540^{\circ} = 360^{\circ} + 180^{\circ} \). Полный оборот и дополнительный поворот на \( 180^{\circ} \). Эквивалентно \( 3\pi \) или \( \pi \).

Шаг 2: Определение координат. Точка находится в \( (-1; 0) \).

• \( \cos(540^{\circ}) = \cos(180^{\circ}) = -1 \).
• \( \sin(540^{\circ}) = \sin(180^{\circ}) = 0 \).

Ответ: Координаты: \( (-1; 0) \).

Шаг 1: Перевод в радианы/Упрощение угла. \( 810^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 90^{\circ} = 720^{\circ} + 90^{\circ} \). Два полных оборота и дополнительный поворот на \( 90^{\circ} \). Эквивалентно \( \frac{\pi}{2} \).

Шаг 2: Определение координат. Точка находится в \( (0; 1) \).

• \( \cos(810^{\circ}) = \cos(90^{\circ}) = 0 \).
• \( \sin(810^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1 \).

Ответ: Координаты: \( (0; 1) \).