ГДЗ: Упражнение 418 - § 22 (Поворот точки вокруг начала координат) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Угол \( \frac{\pi}{4} + 2\pi \). Поворот на \( 2\pi \) соответствует одному полному обороту и возвращает точку в исходную позицию относительно угла \( \frac{\pi}{4} \).

Построение: Точка совпадает с точкой, соответствующей углу \( \frac{\pi}{4} \), находится в 1-й четверти. Координаты \( (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \).

Пояснение: Угол \( -\frac{\pi}{3} + 2\pi \). Поворот на \( 2\pi \) соответствует полному обороту. Угол совпадает с углом \( -\frac{\pi}{3} \) или \( 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \).

Построение: Точка совпадает с точкой, соответствующей углу \( \frac{5\pi}{3} \), находится в 4-й четверти. Координаты \( (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \).

Пояснение: Угол \( \frac{2\pi}{3} + 6\pi \). Поворот на \( 6\pi = 3 \cdot (2\pi) \) соответствует трем полным оборотам.

Построение: Точка совпадает с точкой, соответствующей углу \( \frac{2\pi}{3} \), находится во 2-й четверти. Координаты \( (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \).

Пояснение: Угол \( -\frac{3\pi}{4} + 8\pi \). Поворот на \( 8\pi = 4 \cdot (2\pi) \) соответствует четырем полным оборотам. Угол совпадает с углом \( -\frac{3\pi}{4} \) или \( 2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \).

Построение: Точка совпадает с точкой, соответствующей углу \( \frac{5\pi}{4} \), находится в 3-й четверти. Координаты \( (-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}) \).