Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 43 / Задание 752

ГДЗ: Упражнение 752 - § 43 (Обратные тригонометрические функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 223, 226, 227
Глава: Глава 7
Параграф: § 43 - Обратные тригонометрические функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

752 упражнение:

Сравнить числа:

1) \( \text{arctg } 2\sqrt{3} \text{ и } \text{arctg } 3\sqrt{2} \)

Шаг 1: Анализ функции.

  • Функция \( y = \text{arctg } x \) является возрастающей на всей своей области определения \( x \in (-\infty; +\infty) \).

    • Шаг 2: Сравнение аргументов.

  • Сравним аргументы: \( x_1 = 2\sqrt{3} \) и \( x_2 = 3\sqrt{2} \).
  • Возведем оба числа в квадрат: \( (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \) и \( (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \).
  • Так как \( 12 < 18 \), то \( 2\sqrt{3} < 3\sqrt{2} \).

    • Шаг 3: Сравнение значений арктангенса.

  • Поскольку функция \( y = \text{arctg } x \) возрастающая, если \( x_1 < x_2 \), то \( \text{arctg } x_1 < \text{arctg } x_2 \).
  • Следовательно, \( \text{arctg } 2\sqrt{3} < \text{arctg } 3\sqrt{2} \).

    • Ответ: \( \text{arctg } 2\sqrt{3} < \text{arctg } 3\sqrt{2} \).

    2) \( \text{arctg } (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \text{ и } \text{arctg } (-\frac{1}{\sqrt{5}}) \)

    Шаг 1: Анализ функции.

  • Функция \( y = \text{arctg } x \) является возрастающей на \( (-\infty; +\infty) \).

    • Шаг 2: Сравнение аргументов.

  • Сравним аргументы: \( x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) и \( x_2 = -\frac{1}{\sqrt{5}} \).
  • Сравним модули аргументов: \( |-\frac{1}{\sqrt{2}}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \) и \( |-\frac{1}{\sqrt{5}}| = \frac{1}{\sqrt{5}} \).
  • Возведем модули в квадрат: \( (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} \) и \( (\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = \frac{1}{5} \).
  • Так как \( \frac{1}{2} > \frac{1}{5} \), то \( \frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{5}} \).
  • Для отрицательных чисел это означает, что \( -\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{5}} \) (дальше от нуля).

    • Шаг 3: Сравнение значений арктангенса.

  • Поскольку функция \( y = \text{arctg } x \) возрастающая, если \( x_1 < x_2 \), то \( \text{arctg } x_1 < \text{arctg } x_2 \).
  • Следовательно, \( \text{arctg } (-\frac{1}{\sqrt{2}}) < \text{arctg } (-\frac{1}{\sqrt{5}}) \).

    • Ответ: \( \text{arctg } (-\frac{1}{\sqrt{2}}) < \text{arctg } (-\frac{1}{\sqrt{5}}) \).

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Функция y = arcsin x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], синус которого равен x.
    \( y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \)
    Область определения арксинуса
    Функция y = \arcsin f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
    \( -1 \le f(x) \le 1 \)
    Определение арккосинуса
    Функция y = \arccos x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [0; \pi], косинус которого равен x.
    \( y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [0; \pi] \)
    Область определения арккосинуса
    Функция y = \arccos f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
    \( -1 \le f(x) \le 1 \)
    Определение арктангенса
    Функция y = \text{arctg } x определена для любого действительного числа x \in (-\infty; +\infty) как число y из интервала (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}), тангенс которого равен x.
    \( y = \text{arctg } x \Leftrightarrow \text{tg } y = x, \text{ где } x \in (-\infty; +\infty) \text{ и } y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \)
    Нечетность арксинуса и арктангенса
    Функции арксинус и арктангенс являются нечетными.
    \( \arcsin(-x) = -\arcsin x \), \( \text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x \)
    Свойство арккосинуса
    Функция арккосинус обладает свойством: \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \).
    \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 43

    750 751 752 753 754 755 756 757
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.