Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 43 / Задание 755

ГДЗ: Упражнение 755 - § 43 (Обратные тригонометрические функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 223, 226, 227
Глава: Глава 7
Параграф: § 43 - Обратные тригонометрические функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

755 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \text{arctg } \frac{1 - x}{4} = \frac{\pi}{4} \)

Шаг 1: Применение определения арктангенса.

  • Уравнение \( \text{arctg } A = B \) равносильно \( \text{tg } B = A \).
  • Уравнение \( \text{arctg } \frac{1 - x}{4} = \frac{\pi}{4} \) равносильно: \( \frac{1 - x}{4} = \text{tg } \frac{\pi}{4} \).
  • (Арктангенс определен для любого действительного числа, и \( -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} \)).

    • Шаг 2: Вычисление значения тангенса.

  • \( \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 \).
  • Получаем: \( \frac{1 - x}{4} = 1 \).

    • Шаг 3: Решение линейного уравнения.

  • Умножим обе части на 4: \( 1 - x = 4 \).
  • Выразим \( x \): \( x = 1 - 4 \).
  • \( x = -3 \).

    • Ответ: \( x = -3 \).

    2) \( \text{arctg } \frac{1 + 2x}{4} = -\frac{\pi}{4} \)

    Шаг 1: Применение определения арктангенса.

  • Уравнение \( \text{arctg } \frac{1 + 2x}{4} = -\frac{\pi}{4} \) равносильно: \( \frac{1 + 2x}{4} = \text{tg } (-\frac{\pi}{4}) \).
  • (Проверка: \( -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} \)).

    • Шаг 2: Вычисление значения тангенса.

  • Тангенс — нечетная функция: \( \text{tg } (-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg } \frac{\pi}{4} = -1 \).
  • Получаем: \( \frac{1 + 2x}{4} = -1 \).

    • Шаг 3: Решение линейного уравнения.

  • Умножим обе части на 4: \( 1 + 2x = -4 \).
  • Выразим \( 2x \): \( 2x = -4 - 1 \).
  • \( 2x = -5 \).
  • Разделим на 2: \( x = -2.5 \).

    • Ответ: \( x = -2.5 \).

    3) \( \text{arctg } (2x + 1) = -\frac{\pi}{3} \)

    Шаг 1: Применение определения арктангенса.

  • Уравнение \( \text{arctg } (2x + 1) = -\frac{\pi}{3} \) равносильно: \( 2x + 1 = \text{tg } (-\frac{\pi}{3}) \).
  • (Проверка: \( -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} \)).

    • Шаг 2: Вычисление значения тангенса.

  • \( \text{tg } (-\frac{\pi}{3}) = -\text{tg } \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} \).
  • Получаем: \( 2x + 1 = -\sqrt{3} \).

    • Шаг 3: Решение линейного уравнения.

  • Выразим \( 2x \): \( 2x = -\sqrt{3} - 1 \).
  • Разделим на 2: \( x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \).

    • Ответ: \( x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \).

    4) \( \text{arctg } (2 - 3x) = -\frac{\pi}{4} \)

    Шаг 1: Применение определения арктангенса.

  • Уравнение \( \text{arctg } (2 - 3x) = -\frac{\pi}{4} \) равносильно: \( 2 - 3x = \text{tg } (-\frac{\pi}{4}) \).

    • Шаг 2: Вычисление значения тангенса.

  • \( \text{tg } (-\frac{\pi}{4}) = -1 \).
  • Получаем: \( 2 - 3x = -1 \).

    • Шаг 3: Решение линейного уравнения.

  • Выразим \( 3x \): \( 3x = 2 - (-1) \).
  • \( 3x = 3 \).
  • Разделим на 3: \( x = 1 \).

    • Ответ: \( x = 1 \).

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Функция y = arcsin x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], синус которого равен x.
    \( y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \)
    Область определения арксинуса
    Функция y = \arcsin f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
    \( -1 \le f(x) \le 1 \)
    Определение арккосинуса
    Функция y = \arccos x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [0; \pi], косинус которого равен x.
    \( y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [0; \pi] \)
    Область определения арккосинуса
    Функция y = \arccos f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
    \( -1 \le f(x) \le 1 \)
    Определение арктангенса
    Функция y = \text{arctg } x определена для любого действительного числа x \in (-\infty; +\infty) как число y из интервала (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}), тангенс которого равен x.
    \( y = \text{arctg } x \Leftrightarrow \text{tg } y = x, \text{ где } x \in (-\infty; +\infty) \text{ и } y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \)
    Нечетность арксинуса и арктангенса
    Функции арксинус и арктангенс являются нечетными.
    \( \arcsin(-x) = -\arcsin x \), \( \text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x \)
    Свойство арккосинуса
    Функция арккосинус обладает свойством: \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \).
    \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 43

    750 751 752 753 754 755 756 757
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.