Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 43 / Задание 757

ГДЗ: Упражнение 757 - § 43 (Обратные тригонометрические функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 223, 226, 227
Глава: Глава 7
Параграф: § 43 - Обратные тригонометрические функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

757 упражнение:

Доказать, что график функции \( y = \arccos x \) симметричен относительно точки \( (0; \frac{\pi}{2}) \).

1)

Шаг 1: Условие симметрии графика функции относительно точки.

  • График функции \( y = f(x) \) симметричен относительно точки \( (a; b) \), если для любой точки \( (x_0; y_0) \) на графике, точка \( (2a - x_0; 2b - y_0) \) также лежит на графике.
  • В нашем случае точка симметрии \( (a; b) = (0; \frac{\pi}{2}) \). Условие симметрии принимает вид:
  • \( f(x) + f(2 \cdot 0 - x) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \), или \( f(-x) + f(x) = \pi \).
  • Для функции \( y = \arccos x \), необходимо доказать, что \( \arccos (-x) + \arccos x = \pi \) для всех \( x \in [-1; 1] \).

    • Шаг 2: Доказательство тождества \( \arccos (-x) + \arccos x = \pi \).

  • Пусть \( \arccos x = \alpha \). По определению арккосинуса, это означает, что \( \cos \alpha = x \) и \( \alpha \in [0; \pi] \).
  • Рассмотрим выражение \( \pi - \alpha \). Поскольку \( 0 \le \alpha \le \pi \), то \( 0 \le \pi - \alpha \le \pi \).
  • Вычислим косинус от \( \pi - \alpha \): \( \cos (\pi - \alpha) \).
  • По формуле приведения \( \cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha \).
  • Подставим \( \cos \alpha = x \): \( \cos (\pi - \alpha) = -x \).
  • По определению арккосинуса, если \( \cos (\pi - \alpha) = -x \) и \( \pi - \alpha \in [0; \pi] \), то \( \arccos (-x) = \pi - \alpha \).
  • Подставим обратно \( \alpha = \arccos x \): \( \arccos (-x) = \pi - \arccos x \).
  • Перенесем \( \arccos x \) в левую часть: \( \arccos (-x) + \arccos x = \pi \).

    • Шаг 3: Заключение.

  • Поскольку условие симметрии \( f(-x) + f(x) = \pi \) выполняется для функции \( y = \arccos x \) на всей ее области определения \( [-1; 1] \), то график функции \( y = \arccos x \) симметричен относительно точки \( (0; \frac{\pi}{2}) \).

    • Ответ: Доказано на основании тождества \( \arccos (-x) + \arccos x = \pi \), которое является условием симметрии графика функции \( y = f(x) \) относительно точки \( (0; \frac{\pi}{2}) \).

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Функция y = arcsin x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], синус которого равен x.
    \( y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \)
    Область определения арксинуса
    Функция y = \arcsin f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
    \( -1 \le f(x) \le 1 \)
    Определение арккосинуса
    Функция y = \arccos x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [0; \pi], косинус которого равен x.
    \( y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [0; \pi] \)
    Область определения арккосинуса
    Функция y = \arccos f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
    \( -1 \le f(x) \le 1 \)
    Определение арктангенса
    Функция y = \text{arctg } x определена для любого действительного числа x \in (-\infty; +\infty) как число y из интервала (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}), тангенс которого равен x.
    \( y = \text{arctg } x \Leftrightarrow \text{tg } y = x, \text{ где } x \in (-\infty; +\infty) \text{ и } y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \)
    Нечетность арксинуса и арктангенса
    Функции арксинус и арктангенс являются нечетными.
    \( \arcsin(-x) = -\arcsin x \), \( \text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x \)
    Свойство арккосинуса
    Функция арккосинус обладает свойством: \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \).
    \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 43

    750 751 752 753 754 755 756 757
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.