Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 43 / Задание 756

ГДЗ: Упражнение 756 - § 43 (Обратные тригонометрические функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 223, 226, 227
Глава: Глава 7
Параграф: § 43 - Обратные тригонометрические функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

756 упражнение:

Найти область определения функции:

1) \( y = \arcsin \frac{x - 3}{2} \)

Шаг 1: Условие существования арксинуса.

  • Функция \( y = \arcsin f(x) \) определена, если ее аргумент \( f(x) \) удовлетворяет условию: \( -1 \le f(x) \le 1 \).
  • В нашем случае \( f(x) = \frac{x - 3}{2} \), поэтому должно выполняться неравенство: \( -1 \le \frac{x - 3}{2} \le 1 \).

    • Шаг 2: Решение двойного неравенства.

  • Умножим все части неравенства на 2 (положительное число, знак неравенства сохраняется): \( -1 \cdot 2 \le 2 \cdot \frac{x - 3}{2} \le 1 \cdot 2 \).
  • \( -2 \le x - 3 \le 2 \).
  • Прибавим 3 ко всем частям неравенства: \( -2 + 3 \le x - 3 + 3 \le 2 + 3 \).
  • \( 1 \le x \le 5 \).

    • Шаг 3: Запись области определения.

  • Область определения функции \( D(y) \) — это отрезок \( [1; 5] \).

    • Ответ: Область определения \( D(y) = [1; 5] \).

    2) \( y = \arccos (2 - 3x) \)

    Шаг 1: Условие существования арккосинуса.

  • Функция \( y = \arccos f(x) \) определена, если ее аргумент \( f(x) \) удовлетворяет условию: \( -1 \le f(x) \le 1 \).
  • В нашем случае \( f(x) = 2 - 3x \), поэтому должно выполняться неравенство: \( -1 \le 2 - 3x \le 1 \).

    • Шаг 2: Решение двойного неравенства.

  • Вычтем 2 из всех частей неравенства: \( -1 - 2 \le 2 - 3x - 2 \le 1 - 2 \).
  • \( -3 \le -3x \le -1 \).
  • Разделим все части неравенства на -3. Важно: при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
  • \( \frac{-3}{-3} \ge \frac{-3x}{-3} \ge \frac{-1}{-3} \).
  • \( 1 \ge x \ge \frac{1}{3} \).

    • Шаг 3: Запись области определения.

  • Перепишем неравенство в стандартном виде: \( \frac{1}{3} \le x \le 1 \).
  • Область определения функции \( D(y) \) — это отрезок \( [\frac{1}{3}; 1] \).

    • Ответ: Область определения \( D(y) = [\frac{1}{3}; 1] \).

    3) \( y = \arccos (2\sqrt{x - 3}) \)

    Шаг 1: Условия существования функции.

  • Для существования функции \( y = \arccos (2\sqrt{x - 3}) \) должно выполняться два условия:
  • 1. Условие существования подкоренного выражения: \( x - 3 \ge 0 \) (так как \( \sqrt{x-3} \) определен только для неотрицательных чисел).
  • 2. Условие существования арккосинуса: \( -1 \le 2\sqrt{x - 3} \le 1 \) (аргумент арккосинуса должен быть в \( [-1; 1] \)).

    • Шаг 2: Решение первого условия.

  • \( x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3 \).

    • Шаг 3: Решение второго условия.

  • \( -1 \le 2\sqrt{x - 3} \le 1 \).
  • Так как \( \sqrt{x-3} \ge 0 \), то \( 2\sqrt{x - 3} \ge 0 \). Таким образом, левая часть неравенства \( -1 \le 2\sqrt{x - 3} \) выполняется автоматически для всех \( x \ge 3 \).
  • Остается рассмотреть только правую часть: \( 2\sqrt{x - 3} \le 1 \).
  • Разделим на 2: \( \sqrt{x - 3} \le \frac{1}{2} \).
  • Возведем в квадрат (обе части неотрицательны, поэтому знак неравенства сохраняется): \( x - 3 \le (\frac{1}{2})^2 \).
  • \( x - 3 \le \frac{1}{4} \).
  • \( x \le 3 + \frac{1}{4} \).
  • \( x \le 3\frac{1}{4} \).

    • Шаг 4: Объединение условий.

  • Область определения — это пересечение условий \( x \ge 3 \) и \( x \le 3\frac{1}{4} \).
  • \( 3 \le x \le 3\frac{1}{4} \).

    • Ответ: Область определения \( D(y) = [3; 3\frac{1}{4}] \) или \( [3; \frac{13}{4}] \).

    4) \( y = \arcsin \frac{2x^2 - 5}{3} \)

    Шаг 1: Условие существования арксинуса.

  • Функция \( y = \arcsin f(x) \) определена, если \( -1 \le f(x) \le 1 \).
  • В нашем случае \( f(x) = \frac{2x^2 - 5}{3} \), поэтому должно выполняться неравенство: \( -1 \le \frac{2x^2 - 5}{3} \le 1 \).

    • Шаг 2: Решение двойного неравенства.

  • Умножим все части неравенства на 3: \( -3 \le 2x^2 - 5 \le 3 \).
  • Прибавим 5 ко всем частям неравенства: \( -3 + 5 \le 2x^2 - 5 + 5 \le 3 + 5 \).
  • \( 2 \le 2x^2 \le 8 \).
  • Разделим все части неравенства на 2: \( \frac{2}{2} \le \frac{2x^2}{2} \le \frac{8}{2} \).
  • \( 1 \le x^2 \le 4 \).

    • Шаг 3: Решение неравенства для \( x \).

  • Неравенство \( 1 \le x^2 \le 4 \) эквивалентно системе двух неравенств:
  • 1) \( x^2 \le 4 \Rightarrow x^2 - 4 \le 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \le 0 \Rightarrow x \in [-2; 2] \).
  • 2) \( x^2 \ge 1 \Rightarrow x^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \).
  • Найдем пересечение этих множеств: \( [-2; 2] \cap ((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)) \).
  • Пересечение: \( x \in [-2; -1] \cup [1; 2] \).

    • Ответ: Область определения \( D(y) = [-2; -1] \cup [1; 2] \).

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Функция y = arcsin x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], синус которого равен x.
    \( y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \)
    Область определения арксинуса
    Функция y = \arcsin f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
    \( -1 \le f(x) \le 1 \)
    Определение арккосинуса
    Функция y = \arccos x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [0; \pi], косинус которого равен x.
    \( y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [0; \pi] \)
    Область определения арккосинуса
    Функция y = \arccos f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
    \( -1 \le f(x) \le 1 \)
    Определение арктангенса
    Функция y = \text{arctg } x определена для любого действительного числа x \in (-\infty; +\infty) как число y из интервала (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}), тангенс которого равен x.
    \( y = \text{arctg } x \Leftrightarrow \text{tg } y = x, \text{ где } x \in (-\infty; +\infty) \text{ и } y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \)
    Нечетность арксинуса и арктангенса
    Функции арксинус и арктангенс являются нечетными.
    \( \arcsin(-x) = -\arcsin x \), \( \text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x \)
    Свойство арккосинуса
    Функция арккосинус обладает свойством: \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \).
    \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 43

    750 751 752 753 754 755 756 757
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.