Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 43 / Задание 753

ГДЗ: Упражнение 753 - § 43 (Обратные тригонометрические функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 223, 226, 227
Глава: Глава 7
Параграф: § 43 - Обратные тригонометрические функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

753 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \arccos (2 - 3x) = \frac{\pi}{6} \)

Шаг 1: Применение определения арккосинуса.

  • По определению арккосинуса, если \( \arccos A = B \), то \( \cos B = A \), причем \( A \in [-1; 1] \) и \( B \in [0; \pi] \).
  • В данном случае: \( A = 2 - 3x \) и \( B = \frac{\pi}{6} \). Поскольку \( 0 \le \frac{\pi}{6} \le \pi \), условие на \( B \) выполнено.
  • Переходим к равносильному тригонометрическому уравнению: \( 2 - 3x = \cos \frac{\pi}{6} \).

    • Шаг 2: Вычисление значения косинуса.

  • Известно, что \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • Уравнение принимает вид: \( 2 - 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

    • Шаг 3: Решение линейного уравнения.

  • Выразим \( 3x \): \( 3x = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • Приведем к общему знаменателю: \( 3x = \frac{4 - \sqrt{3}}{2} \).
  • Разделим обе части на 3: \( x = \frac{4 - \sqrt{3}}{6} \).

    • Шаг 4: Проверка (обязательно для аркфункций).

  • Проверим, что аргумент \( 2 - 3x \) находится в отрезке \( [-1; 1] \).
  • \( 2 - 3x = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • Так как \( 1 < \sqrt{3} < 2 \), то \( 0.5 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 \). Это значение находится в \( [-1; 1] \). Решение верно.

    • Ответ: \( x = \frac{4 - \sqrt{3}}{6} \).

    2) \( \arcsin (3 - 2x) = \frac{\pi}{4} \)

    Шаг 1: Применение определения арксинуса.

  • По определению арксинуса, если \( \arcsin A = B \), то \( \sin B = A \), причем \( A \in [-1; 1] \) и \( B \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).
  • В данном случае: \( A = 3 - 2x \) и \( B = \frac{\pi}{4} \). Поскольку \( -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} \), условие на \( B \) выполнено.
  • Переходим к равносильному тригонометрическому уравнению: \( 3 - 2x = \sin \frac{\pi}{4} \).

    • Шаг 2: Вычисление значения синуса.

  • Известно, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
  • Уравнение принимает вид: \( 3 - 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

    • Шаг 3: Решение линейного уравнения.

  • Выразим \( 2x \): \( 2x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} \).
  • Приведем к общему знаменателю: \( 2x = \frac{6 - \sqrt{2}}{2} \).
  • Разделим обе части на 2: \( x = \frac{6 - \sqrt{2}}{4} \).

    • Шаг 4: Проверка.

  • Проверим, что аргумент \( 3 - 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) находится в отрезке \( [-1; 1] \). Так как \( 0 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 \), условие выполнено.

    • Ответ: \( x = \frac{6 - \sqrt{2}}{4} \).

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Функция y = arcsin x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], синус которого равен x.
    \( y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \)
    Область определения арксинуса
    Функция y = \arcsin f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
    \( -1 \le f(x) \le 1 \)
    Определение арккосинуса
    Функция y = \arccos x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [0; \pi], косинус которого равен x.
    \( y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [0; \pi] \)
    Область определения арккосинуса
    Функция y = \arccos f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
    \( -1 \le f(x) \le 1 \)
    Определение арктангенса
    Функция y = \text{arctg } x определена для любого действительного числа x \in (-\infty; +\infty) как число y из интервала (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}), тангенс которого равен x.
    \( y = \text{arctg } x \Leftrightarrow \text{tg } y = x, \text{ где } x \in (-\infty; +\infty) \text{ и } y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \)
    Нечетность арксинуса и арктангенса
    Функции арксинус и арктангенс являются нечетными.
    \( \arcsin(-x) = -\arcsin x \), \( \text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x \)
    Свойство арккосинуса
    Функция арккосинус обладает свойством: \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \).
    \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 43

    750 751 752 753 754 755 756 757
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.