ГДЗ: Упражнение 131 - § 7 (Взаимно обратные функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Функция \( y = 3x - 1 \) является линейной, и ее график — прямая линия с положительным угловым коэффициентом \( k = 3 \).
Поскольку \( k > 0 \), функция строго возрастает на всей своей области определения \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Вывод: Функция является строго монотонной, а значит, обратимой.

Ответ: Обратима.

Пояснение: Функция \( y = x^2 + 7 \) — квадратичная, ее график — парабола, вершина которой находится в точке \( (0; 7) \).

На всей области определения \( D(y) = (-\infty; +\infty) \) функция не является строго монотонной:

• При \( x < 0 \) функция строго убывает.
• При \( x > 0 \) функция строго возрастает.

Например, разным значениям \( x \) (\( x = -1 \) и \( x = 1 \)) соответствует одно и то же значение \( y \):
\( y(-1) = (-1)^2 + 7 = 8 \)
\( y(1) = (1)^2 + 7 = 8 \)

Вывод: Функция не является взаимно однозначной на всей области определения, а значит, необратима.

Ответ: Необратима.

Пояснение: Функция \( y = \frac{1}{x} \) — гипербола, ее область определения \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

На каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\) функция строго убывает. Несмотря на разрыв, функция строго монотонна на всей своей области определения (применяется более строгое определение, но в школьном курсе обычно достаточно признака строго монотонности).

Или, проверим, что для любого \( y \ne 0 \) существует единственное \( x \):
\( y = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{y} \). Это единственное значение \( x \).

Вывод: Функция является взаимно однозначной, а значит, обратимой.

Ответ: Обратима.

Пояснение: Функция \( y = \sqrt{x} \) определена при \( x \ge 0 \). Ее график — ветвь параболы.

На своей области определения \( [0; +\infty) \) функция является строго возрастающей.

Вывод: Функция является строго монотонной, а значит, обратимой.

Ответ: Обратима.

Пояснение: Функция \( y = x^4 \) определена на \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

На всей области определения функция не является строго монотонной:

• При \( x < 0 \) функция строго убывает.
• При \( x > 0 \) функция строго возрастает.

Например, разным значениям \( x \) (\( x = -2 \) и \( x = 2 \)) соответствует одно и то же значение \( y \):
\( y(-2) = (-2)^4 = 16 \)
\( y(2) = (2)^4 = 16 \)

Вывод: Функция не является взаимно однозначной, а значит, необратима.

Ответ: Необратима.

Пояснение: Рассматривается функция \( y = x^4 \) на ограниченной области определения \( D(y) = (-\infty; 0) \).

На промежутке \( (-\infty; 0) \) функция \( y = x^4 \) является строго убывающей (при увеличении \( x \) от минус бесконечности до 0, значения \( y \) уменьшаются от \( +\infty \) до \( 0 \)).

Вывод: Функция является строго монотонной на заданной области, а значит, обратимой.

Ответ: Обратима.

• Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
• Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
• Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).

1. Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
2. Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
3. Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).