ГДЗ: Упражнение 134 - § 7 (Взаимно обратные функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: График функции, обратной к \( y = f(x) \), симметричен графику \( y = f(x) \) относительно прямой \( y = x \).

График (а):
Исходный график \( y = f(x) \) проходит через точки \( (-1; 5) \) и \( (0; 1) \).
График обратной функции пройдет через симметричные точки \( (5; -1) \) и \( (1; 0) \).

Построение: График обратной функции — это плавная кривая, соединяющая точки \( (5; -1) \) и \( (1; 0) \), симметричная исходной относительно \( y = x \).

Пояснение: График функции, обратной к \( y = f(x) \), симметричен графику \( y = f(x) \) относительно прямой \( y = x \).

График (б):
Исходный график \( y = f(x) \) проходит через точки \( (-2; 0) \) и \( (0; 2) \).
График обратной функции пройдет через симметричные точки \( (0; -2) \) и \( (2; 0) \).

Построение: График обратной функции — это плавная кривая, соединяющая точки \( (0; -2) \) и \( (2; 0) \), симметричная исходной относительно \( y = x \).

Пояснение: График функции, обратной к \( y = f(x) \), симметричен графику \( y = f(x) \) относительно прямой \( y = x \).

График (в):
Исходный график \( y = f(x) \) проходит через точки \( (-2; 4) \) и \( (0; 1) \) и \( (1; 0) \).
График обратной функции пройдет через симметричные точки \( (4; -2) \) и \( (1; 0) \) и \( (0; 1) \).

Построение: График обратной функции — это плавная кривая, соединяющая точки \( (4; -2) \), \( (1; 0) \) и \( (0; 1) \), симметричная исходной относительно \( y = x \).

Пояснение: График функции, обратной к \( y = f(x) \), симметричен графику \( y = f(x) \) относительно прямой \( y = x \).

График (г):
Исходный график \( y = f(x) \) проходит через точки \( (-1; 0) \) и \( (0; 1) \) и \( (1; 4) \).
График обратной функции пройдет через симметричные точки \( (0; -1) \) и \( (1; 0) \) и \( (4; 1) \).

Построение: График обратной функции — это плавная кривая, соединяющая точки \( (0; -1) \), \( (1; 0) \) и \( (4; 1) \), симметричная исходной относительно \( y = x \).

Функция \( y = f(x) \) называется обратимой, если она является взаимно однозначной, т.е. для любого значения \( y \) из множества значений функции существует единственное значение \( x \) из области определения, такое что \( y = f(x) \). Это равносильно тому, что функция является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения.

Если функция \( y = f(x) \) обратима, то существует обратная функция \( x = g(y) \), которая каждому значению \( y \) из множества значений функции \( f \) ставит в соответствие единственное значение \( x \) из области определения \( f \). Обычно переменную \( x \) и \( y \) меняют местами, получая \( y = g(x) \).

• Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
• Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
• Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).

Для нахождения функции, обратной к \( y = f(x) \):

1. Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
2. Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
3. Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).