ГДЗ: Упражнение 132 - § 7 (Взаимно обратные функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):

• Начнем с исходного уравнения: \( y = 2x - 1 \).
• Прибавим 1 к обеим частям: \( y + 1 = 2x \).
• Разделим обе части на 2: \( x = \frac{y + 1}{2} \) или \( x = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2} \).

Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:

• Получаем обратную функцию: \( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \).

Ответ: \( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \)

Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):

• Начнем с исходного уравнения: \( y = -5x + 4 \).
• Вычтем 4 из обеих частей: \( y - 4 = -5x \).
• Разделим обе части на \(-5\): \( x = \frac{y - 4}{-5} \) или \( x = -\frac{1}{5}y + \frac{4}{5} \).

Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:

• Получаем обратную функцию: \( y = -\frac{1}{5}x + \frac{4}{5} \).

Ответ: \( y = -\frac{1}{5}x + \frac{4}{5} \)

Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):

• Начнем с исходного уравнения: \( y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \).
• Прибавим \( \frac{2}{3} \) к обеим частям: \( y + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x \).
• Умножим обе части на 3: \( x = 3 \left( y + \frac{2}{3} \right) \) или \( x = 3y + 2 \).

Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:

• Получаем обратную функцию: \( y = 3x + 2 \).

Ответ: \( y = 3x + 2 \)

Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):

• Начнем с исходного уравнения: \( y = \frac{3x - 1}{2} \).
• Умножим обе части на 2: \( 2y = 3x - 1 \).
• Прибавим 1 к обеим частям: \( 2y + 1 = 3x \).
• Разделим обе части на 3: \( x = \frac{2y + 1}{3} \) или \( x = \frac{2}{3}y + \frac{1}{3} \).

Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:

• Получаем обратную функцию: \( y = \frac{2x + 1}{3} \).

Ответ: \( y = \frac{2x + 1}{3} \)

Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):

• Начнем с исходного уравнения: \( y = x^3 + 1 \).
• Вычтем 1 из обеих частей: \( y - 1 = x^3 \).
• Возьмем кубический корень из обеих частей: \( x = \sqrt[3]{y - 1} \).

Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:

• Получаем обратную функцию: \( y = \sqrt[3]{x - 1} \).

Ответ: \( y = \sqrt[3]{x - 1} \)

Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):

• Начнем с исходного уравнения: \( y = x^3 - 3 \).
• Прибавим 3 к обеим частям: \( y + 3 = x^3 \).
• Возьмем кубический корень из обеих частей: \( x = \sqrt[3]{y + 3} \).

Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:

• Получаем обратную функцию: \( y = \sqrt[3]{x + 3} \).

Ответ: \( y = \sqrt[3]{x + 3} \)

• Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
• Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
• Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).

1. Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
2. Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
3. Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).