ГДЗ: Упражнение 136 - § 7 (Взаимно обратные функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Определим область определения \( D(f) \) и множество значений \( E(f) \):

• Область определения: \( D(f) = (-\infty; 0] \).
• На этом промежутке \( y = -x^2 \) строго возрастает.
• Множество значений: \( E(f) = (-\infty; 0] \) (поскольку \( x^2 \ge 0 \Rightarrow -x^2 \le 0 \)).

Шаг 2. Выразим \( x \) через \( y \):

• Начнем с исходного уравнения: \( y = -x^2 \).
• Умножим на \(-1\): \( -y = x^2 \).
• Извлечем квадратный корень: \( x = \pm \sqrt{-y} \).
• Так как по условию \( x \le 0 \), выбираем отрицательный корень: \( x = -\sqrt{-y} \).
  (Заметим, что \( -y \ge 0 \) верно, т.к. \( y \le 0 \)).

Шаг 3. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:

• Получаем обратную функцию: \( y = -\sqrt{-x} \).

Шаг 4. Определим область определения обратной функции \( D(f^{-1}) \):

• \( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; 0] \).

Ответ: \( y = -\sqrt{-x} \), где \( x \le 0 \).

Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):

• Начнем с исходного уравнения: \( y = -x^5 \).
• Умножим на \(-1\): \( -y = x^5 \).
• Возьмем корень пятой степени: \( x = \sqrt[5]{-y} \).
• Поскольку \( \sqrt[5]{-y} = -\sqrt[5]{y} \), получаем \( x = -\sqrt[5]{y} \).

Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:

• Получаем обратную функцию: \( y = -\sqrt[5]{x} \).

Ответ: \( y = -\sqrt[5]{x} \)

Шаг 1. Определим область определения \( D(f) \) и множество значений \( E(f) \):

• Функция \( y = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} \) определена при всех \( x \): \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
• Функция не является обратимой на \( D(f) \), поскольку \( f(-1) = f(1) = 1 \).
• Для нахождения обратной функции, область определения должна быть ограничена, например, \( x \ge 0 \). Предположим, что \( x \ge 0 \). Тогда \( D(f) = [0; +\infty) \) и \( E(f) = [0; +\infty) \).

Шаг 2. Выразим \( x \) через \( y \) (при условии \( x \ge 0 \)):

• Начнем с исходного уравнения: \( y = x^{\frac{2}{3}} \).
• Возведем обе части в степень \( \frac{3}{2} \): \( y^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \).
• Получаем \( x = y^{\frac{3}{2}} \).

Шаг 3. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:

• Получаем обратную функцию: \( y = x^{\frac{3}{2}} \).

Ответ: \( y = x^{\frac{3}{2}} \), где \( x \ge 0 \).

Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):

• Начнем с исходного уравнения: \( y = -x^{\frac{1}{3}} = -\sqrt[3]{x} \).
• Умножим на \(-1\): \( -y = x^{\frac{1}{3}} \).
• Возведем обе части в куб: \( (-y)^3 = (x^{\frac{1}{3}})^3 \).
• Получаем \( x = (-y)^3 \) или \( x = -y^3 \).

Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:

• Получаем обратную функцию: \( y = -x^3 \).

Ответ: \( y = -x^3 \)

Функция \( y = f(x) \) называется обратимой, если она является взаимно однозначной, т.е. для любого значения \( y \) из множества значений функции существует единственное значение \( x \) из области определения, такое что \( y = f(x) \). Это равносильно тому, что функция является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения.

Если функция \( y = f(x) \) обратима, то существует обратная функция \( x = g(y) \), которая каждому значению \( y \) из множества значений функции \( f \) ставит в соответствие единственное значение \( x \) из области определения \( f \). Обычно переменную \( x \) и \( y \) меняют местами, получая \( y = g(x) \).

• Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
• Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
• Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).

Для нахождения функции, обратной к \( y = f(x) \):

1. Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
2. Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
3. Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).