Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 7 / Задание 133

ГДЗ: Упражнение 133 - § 7 (Взаимно обратные функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 47, 52, 53

Глава:	Глава 2
Параграф:	§ 7 - Взаимно обратные функции
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

133 упражнение:

Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

1) \( y = -2x + 1 \)

Исходная функция \( f(x) = -2x + 1 \):

Область определения \( D(f) \): Линейная функция определена при всех \( x \): \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Линейная функция (если коэффициент не равен 0) принимает все значения: \( E(f) = (-\infty; +\infty) \).

Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \).
\( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \).
\( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; +\infty) \).

Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \).

2) \( y = \frac{1}{4}x - 7 \)

Исходная функция \( f(x) = \frac{1}{4}x - 7 \):

Область определения \( D(f) \): Линейная функция определена при всех \( x \): \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Линейная функция (если коэффициент не равен 0) принимает все значения: \( E(f) = (-\infty; +\infty) \).

Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \).
\( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \).
\( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; +\infty) \).

Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \).

3) \( y = x^3 - 1 \)

Исходная функция \( f(x) = x^3 - 1 \):

Область определения \( D(f) \): Кубический многочлен определен при всех \( x \): \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Кубическая функция принимает все значения: \( E(f) = (-\infty; +\infty) \).

Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \).
\( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \).
\( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; +\infty) \).

Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \).

4) \( y = (x - 1)^3 \)

Исходная функция \( f(x) = (x - 1)^3 \):

Область определения \( D(f) \): Кубическая функция определена при всех \( x \): \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Кубическая функция принимает все значения: \( E(f) = (-\infty; +\infty) \).

Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \).
\( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \).
\( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; +\infty) \).

Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \).

5) \( y = \frac{2}{x} \)

Исходная функция \( f(x) = \frac{2}{x} \):

Область определения \( D(f) \): Знаменатель не равен нулю: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Функция \( y = \frac{2}{x} \) принимает все значения, кроме 0: \( E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \).
\( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \).
\( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

6) \( y = \frac{3}{x - 4} \)

Исходная функция \( f(x) = \frac{3}{x - 4} \):

Область определения \( D(f) \): Знаменатель не равен нулю, \( x - 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4 \): \( D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Дробь равна 0 только если числитель равен 0, что невозможно (числитель 3), поэтому \( y \ne 0 \): \( E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \).
\( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \).
\( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \).

Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \).

Что применять при решении

Обратимая функция

Функция \( y = f(x) \) называется обратимой, если она является взаимно однозначной, т.е. для любого значения \( y \) из множества значений функции существует единственное значение \( x \) из области определения, такое что \( y = f(x) \). Это равносильно тому, что функция является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения.

Обратная функция

Если функция \( y = f(x) \) обратима, то существует обратная функция \( x = g(y) \), которая каждому значению \( y \) из множества значений функции \( f \) ставит в соответствие единственное значение \( x \) из области определения \( f \). Обычно переменную \( x \) и \( y \) меняют местами, получая \( y = g(x) \).

Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). При перестановке переменных: \( y = f^{-1}(x) \).

Свойства взаимно обратных функций

Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).

\( D(f) = E(f^{-1}) \), \( E(f) = D(f^{-1}) \)

Нахождение обратной функции

Для нахождения функции, обратной к \( y = f(x) \):

Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 7

131 132 133 134 135 136 137

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.