ГДЗ: Упражнение 135 - § 7 (Взаимно обратные функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Проверим, является ли \( y = -\sqrt[3]{x} \) обратной к \( y = -x^3 \).

Шаг 1. Найдем обратную функцию для \( y = -x^3 \):

• Выразим \( x \) через \( y \):
  \( y = -x^3 \Rightarrow x^3 = -y \Rightarrow x = \sqrt[3]{-y} \).
• Поскольку \( \sqrt[3]{-y} = -\sqrt[3]{y} \), получаем \( x = -\sqrt[3]{y} \).
• Поменяем переменные: \( y = -\sqrt[3]{x} \).

Вывод: Полученная обратная функция совпадает со второй функцией.

Ответ: Являются.

Проверим, является ли \( y = \sqrt[5]{x} \) обратной к \( y = -x^5 \).

Шаг 1. Найдем обратную функцию для \( y = -x^5 \):

• Выразим \( x \) через \( y \):
  \( y = -x^5 \Rightarrow x^5 = -y \Rightarrow x = \sqrt[5]{-y} \).
• Поскольку \( \sqrt[5]{-y} = -\sqrt[5]{y} \), получаем \( x = -\sqrt[5]{y} \).
• Поменяем переменные: \( y = -\sqrt[5]{x} \).

Вывод: Обратная функция \( y = -\sqrt[5]{x} \) не совпадает со второй функцией \( y = \sqrt[5]{x} \).

Ответ: Не являются.

Проверим, является ли \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \) обратной к \( y = x^3 \).

Шаг 1. Найдем обратную функцию для \( y = x^3 \):

• Выразим \( x \) через \( y \):
  \( y = x^3 \Rightarrow x = \sqrt[3]{y} \).
• Поменяем переменные: \( y = \sqrt[3]{x} \).

Вывод: Обратная функция \( y = \sqrt[3]{x} \) не совпадает со второй функцией \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \).

Ответ: Не являются.

Проверим, являются ли \( y = \sqrt[3]{x^4} \) и \( y = x^{\frac{3}{4}} \) взаимно обратными.

Перепишем функции в виде степеней:
Первая функция: \( y = \sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}} \). Область определения \( D_1 = (-\infty; +\infty) \).

Вторая функция: \( y = x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3} \). Область определения \( D_2 = [0; +\infty) \).

Шаг 1. Проверим обратимость:
Первая функция \( y = x^{\frac{4}{3}} \) не является взаимно однозначной на \( D_1 \). Например, \( f(-1) = (-1)^{\frac{4}{3}} = 1 \) и \( f(1) = 1^{\frac{4}{3}} = 1 \).
Вторая функция \( y = x^{\frac{3}{4}} \) строго возрастает на \( D_2 \).

Шаг 2. Найдем обратную функцию для \( y = x^{\frac{3}{4}} \) (она обратима):

• Выразим \( x \) через \( y \):
  \( y = x^{\frac{3}{4}} \Rightarrow y^4 = (x^{\frac{3}{4}})^4 \Rightarrow y^4 = x^3 \Rightarrow x = y^{\frac{4}{3}} \).
• Поменяем переменные: \( y = x^{\frac{4}{3}} \).

Вывод: Обратная функция \( y = x^{\frac{4}{3}} \) совпадает с первой функцией \( y = \sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}} \). Однако, чтобы они были взаимно обратными, необходимо ограничить область определения первой функции до \( [0; +\infty) \), так как область определения второй функции \( [0; +\infty) \) является множеством значений первой (а без ограничения \( x^{\frac{4}{3}} \) не обратима).

В контексте стандартного школьного курса, где функции рассматриваются на максимальной области определения без явных ограничений, первая функция необратима. Если же подразумевается ограничение \( x \ge 0 \) для первой функции, то они взаимно обратны.

Примем стандартное соглашение о максимальной области определения, где \( y = \sqrt[3]{x^4} \) необратима.

Ответ: Не являются (если не ограничить область определения \( y = \sqrt[3]{x^4} \) до \( x \ge 0 \)).

Функция \( y = f(x) \) называется обратимой, если она является взаимно однозначной, т.е. для любого значения \( y \) из множества значений функции существует единственное значение \( x \) из области определения, такое что \( y = f(x) \). Это равносильно тому, что функция является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения.

Если функция \( y = f(x) \) обратима, то существует обратная функция \( x = g(y) \), которая каждому значению \( y \) из множества значений функции \( f \) ставит в соответствие единственное значение \( x \) из области определения \( f \). Обычно переменную \( x \) и \( y \) меняют местами, получая \( y = g(x) \).

• Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
• Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
• Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).

Для нахождения функции, обратной к \( y = f(x) \):

1. Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
2. Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
3. Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).