ГДЗ: Упражнение 137 - § 7 (Взаимно обратные функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Исходная функция \( f(x) = 3x - 1 \):

• Область определения \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).

2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

• Найдем обратную: \( y = 3x - 1 \Rightarrow x = \frac{y + 1}{3} \). После замены переменных: \( y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \).
• Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).

3. Построение графиков:

• График \( y = 3x - 1 \) — прямая, проходящая через точки \( (0; -1) \) и \( (\frac{1}{3}; 0) \).
• График \( y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \) — прямая, проходящая через точки \( (0; \frac{1}{3}) \) и \( (-1; 0) \).
• Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).

1. Исходная функция \( f(x) = \frac{2x - 1}{3} \):

• Область определения \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).

2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

• Найдем обратную: \( 3y = 2x - 1 \Rightarrow 2x = 3y + 1 \Rightarrow x = \frac{3y + 1}{2} \). После замены переменных: \( y = \frac{3x + 1}{2} \).
• Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).

3. Построение графиков:

• График \( y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \) — прямая.
• График \( y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \) — прямая.
• Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).

1. Исходная функция \( f(x) = x^2 - 1, \ x \ge 0 \):

• Область определения \( D(f) \): \( [0; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): При \( x = 0, y = -1 \). При \( x \to +\infty, y \to +\infty \). \( E(f) = [-1; +\infty) \).

2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

• Найдем обратную: \( y = x^2 - 1 \Rightarrow x^2 = y + 1 \). Поскольку \( x \ge 0 \), берем положительный корень: \( x = \sqrt{y + 1} \). После замены переменных: \( y = \sqrt{x + 1} \).
• Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( [-1; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( [0; +\infty) \).

3. Построение графиков:

• График \( y = x^2 - 1, \ x \ge 0 \) — правая ветвь параболы, вершина в \( (0; -1) \).
• График \( y = \sqrt{x + 1}, \ x \ge -1 \) — ветвь "лежачей" параболы, начинающаяся в \( (-1; 0) \).
• Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).

1. Исходная функция \( f(x) = (x - 1)^2, \ x \ge 1 \):

• Область определения \( D(f) \): \( [1; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): При \( x = 1, y = 0 \). При \( x \to +\infty, y \to +\infty \). \( E(f) = [0; +\infty) \).

2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

• Найдем обратную: \( y = (x - 1)^2 \Rightarrow x - 1 = \pm \sqrt{y} \). Поскольку \( x \ge 1 \), \( x - 1 \ge 0 \), берем положительный корень: \( x - 1 = \sqrt{y} \Rightarrow x = \sqrt{y} + 1 \). После замены переменных: \( y = \sqrt{x} + 1 \).
• Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( [0; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( [1; +\infty) \).

3. Построение графиков:

• График \( y = (x - 1)^2, \ x \ge 1 \) — правая ветвь параболы, вершина в \( (1; 0) \).
• График \( y = \sqrt{x} + 1, \ x \ge 0 \) — ветвь "лежачей" параболы, начинающаяся в \( (0; 1) \).
• Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).

1. Исходная функция \( f(x) = x^3 - 2 \):

• Область определения \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).

2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

• Найдем обратную: \( y = x^3 - 2 \Rightarrow x^3 = y + 2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{y + 2} \). После замены переменных: \( y = \sqrt[3]{x + 2} \).
• Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).

3. Построение графиков:

• График \( y = x^3 - 2 \) — кубическая парабола, сдвинутая на 2 вниз, проходящая через \( (0; -2) \) и \( (\sqrt[3]{2}; 0) \).
• График \( y = \sqrt[3]{x + 2} \) — корень третьей степени, сдвинутый на 2 влево, проходящий через \( (-2; 0) \) и \( (0; \sqrt[3]{2}) \).
• Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).

1. Исходная функция \( f(x) = (x - 1)^3 \):

• Область определения \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).

2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

• Найдем обратную: \( y = (x - 1)^3 \Rightarrow x - 1 = \sqrt[3]{y} \Rightarrow x = \sqrt[3]{y} + 1 \). После замены переменных: \( y = \sqrt[3]{x} + 1 \).
• Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).

3. Построение графиков:

• График \( y = (x - 1)^3 \) — кубическая парабола, сдвинутая на 1 вправо, проходящая через \( (1; 0) \) и \( (0; -1) \).
• График \( y = \sqrt[3]{x} + 1 \) — корень третьей степени, сдвинутый на 1 вверх, проходящий через \( (0; 1) \) и \( (-1; 0) \).
• Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).

1. Исходная функция \( f(x) = \sqrt{x - 1} \):

• Область определения \( D(f) \): Требуется \( x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \). \( D(f) = [1; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): Корень всегда неотрицателен: \( E(f) = [0; +\infty) \).

2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

• Найдем обратную: \( y = \sqrt{x - 1} \). Учитывая \( y \ge 0 \), возведем в квадрат: \( y^2 = x - 1 \Rightarrow x = y^2 + 1 \). После замены переменных: \( y = x^2 + 1 \).
• Необходимо указать ограничение \( x \ge 0 \), поскольку \( D(f^{-1}) = E(f) \).
• Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( [0; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( [1; +\infty) \).

3. Построение графиков:

• График \( y = \sqrt{x - 1} \) — ветвь "лежачей" параболы, начинающаяся в \( (1; 0) \).
• График \( y = x^2 + 1, \ x \ge 0 \) — правая ветвь параболы, вершина в \( (0; 1) \).
• Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).

1. Исходная функция \( f(x) = \sqrt{x} + 1 \):

• Область определения \( D(f) \): Требуется \( x \ge 0 \). \( D(f) = [0; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): Поскольку \( \sqrt{x} \ge 0 \), то \( y = \sqrt{x} + 1 \ge 1 \). \( E(f) = [1; +\infty) \).

2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):

• Найдем обратную: \( y = \sqrt{x} + 1 \Rightarrow \sqrt{x} = y - 1 \). Учитывая, что \( \sqrt{x} \ge 0 \), требуется \( y - 1 \ge 0 \Rightarrow y \ge 1 \). Возведем в квадрат: \( x = (y - 1)^2 \). После замены переменных: \( y = (x - 1)^2 \).
• Необходимо указать ограничение \( x \ge 1 \), поскольку \( D(f^{-1}) = E(f) \).
• Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( [1; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( [0; +\infty) \).

3. Построение графиков:

• График \( y = \sqrt{x} + 1, \ x \ge 0 \) — ветвь "лежачей" параболы, начинающаяся в \( (0; 1) \).
• График \( y = (x - 1)^2, \ x \ge 1 \) — правая ветвь параболы, вершина в \( (1; 0) \).
• Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).

• Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
• Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
• Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).

1. Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
2. Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
3. Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).