Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 19 / Задание 340

ГДЗ: Упражнение 340 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 105, 108, 109
Глава: Глава 4
Параграф: § 19 - Логарифмические уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

340 упражнение:

Решить уравнение.

1) \( \log_3 (5x + 3) = \log_3 (7x + 5) \)
  • 1. Находим ОДЗ: \( 5x + 3 > 0 \) и \( 7x + 5 > 0 \).
    \( x > -3/5 = -0.6 \) и \( x > -5/7 \approx -0.71 \). Окончательное ОДЗ: \( x > -0.6 \).
  • 2. Приравниваем аргументы: Так как основания логарифмов одинаковы, то \( 5x + 3 = 7x + 5 \).
  • 3. Решаем линейное уравнение: \( 3 - 5 = 7x - 5x \).
    \( -2 = 2x \). \( x = -1 \).
  • 4. Проверяем ОДЗ: Корень \( x = -1 \) не удовлетворяет условию \( x > -0.6 \).

Ответ: Нет корней.

2) \( \log_{\frac{1}{3}} (3x - 1) = \log_{\frac{1}{3}} (6x + 8) \)
  • 1. Находим ОДЗ: \( 3x - 1 > 0 \) и \( 6x + 8 > 0 \).
    \( x > 1/3 \) и \( x > -8/6 = -4/3 \). Окончательное ОДЗ: \( x > 1/3 \).
  • 2. Приравниваем аргументы: \( 3x - 1 = 6x + 8 \).
  • 3. Решаем линейное уравнение: \( -1 - 8 = 6x - 3x \).
    \( -9 = 3x \). \( x = -3 \).
  • 4. Проверяем ОДЗ: Корень \( x = -3 \) не удовлетворяет условию \( x > 1/3 \).

Ответ: Нет корней.

Что применять при решении

Определение логарифма
Логарифмом положительного числа \( a \) по основанию \( b \), где \( b > 0 \) и \( b \neq 1 \), называется показатель степени \( c \), в которую нужно возвести основание \( b \), чтобы получить число \( a \).
\( \log_b a = c \iff b^c = a \quad (a > 0, b > 0, b \neq 1) \)
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма
Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для уравнения с логарифмами необходимо проверить, чтобы все аргументы \( f(x) \) логарифмов \( \log_b f(x) \) удовлетворяли условию \( f(x) > 0 \).
\( \log_b f(x) \implies f(x) > 0 \)
Свойства логарифмов (преобразование суммы и разности)
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов; разность — логарифму частного. При этом важно следить за равносильностью: преобразование суммы/разности в логарифм произведения/частного может расширить ОДЗ.
\( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \) (при \( x > 0, y > 0 \)); \( \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y} \) (при \( x > 0, y > 0 \))
Формула перехода к новому основанию
Позволяет переходить от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию, что часто используется для приведения логарифмов к одному основанию или для замены переменной.
\( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \) и частный случай \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 19

336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.